电荷与真空中的静电场
第4篇 电磁学
电荷与真空中的静电场 导体和电介质中的静电场 恒定电流与真空中的恒定磁场 磁介质中的恒定磁场 电磁场与麦克斯韦方程组
2013-7-9
电荷与真空中的静电场
第9章 电荷与真空中的静电场
内容提要
9.1 电荷 库仑定律 9.2 电场和电场强度 9.3 电通量 真空中静电场的高斯定理 9.4 静电场力的功 真空中静电场的环路定理 9.5 电势 9.6 电场强度和电势的关系
40 ri
qi
e 2 i
——电场强度叠加原理
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3. 连续分布的任意带电体场强 在带电体上任取一个电荷元 dq， dq在某点P处的场强为:
P
r
dq
dE
dE
1 dq e 2 r 4 0 r
整个带电体在P点产生的总场强为:
E dE
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9.2 电场和电场强度
9.2.1 电场 早期：电磁理论是超距作用理论. 电荷 电荷 后来: 法拉第提出近距作用,并提出力线和场的概念. 电荷 电场 电荷 电场是物质存在的一种形态,它分布在一定范围 的空间里,并和一切物质一样,具有能量、动量、质 量等属性.
F 1 q E e 2 r q0 40 r
讨论Biblioteka ——点电荷的场强 (1) E 的大小与 q 成正比，与 r2成反比； (2) E 的方向取决于 q 的符号.
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点电荷的电场是辐射状球对称分布电场.
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2. 点电荷系的电场强度

3q00 2q q
2F
3F
P
所受电场力方向不 变，大小成比例地变化.
——电场力不能反映某点的电场性质.
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电荷与真空中的静电场 F 比值 与试验电荷 qo无关，仅与该点处电场性质有关. q0
2. 电场强度E 电场中某点的电场强度 E 的大小,等于单位试验 电荷在该点所受到的电场力的大小,其方向与正的试 验电荷受力方向相同.
1 dx dE 4 0 r 2 dE y dE sin
dE
dEx
2
P
1
r
a
dq O 由图上的几何关系: x a tan(θ ) acotθ 2 r 2 a 2 x 2 a 2 csc 2 dx a csc 2 θ dθ dE y sin d dEx cos d 4 0 a 4 0 a
E 0
1 cosθ 1 q 1 dq Ex r 2 cosθ 4 0 r 2 dq 4 0 r 2 cosθ 4 0
x cosθ r
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r (R x )
2
2 1/ 2
1 qx E 4 0 ( R 2 x 2 )3 / 2
1 qx E 2 2 3/ 2 4 0 ( R x )
F E q0
单位：牛顿/库仑(N/C)或伏特/米(V/m).
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9.2.3 点电荷与点电荷系的电场强度 1. 点电荷的电场强度 q q0
F er 1 qq0 试验电荷q0所受的电场力为: F er 2 40 r
由场强的定义可得场强为:
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9.1 电荷 库仑定律
9.1.1 电荷的量子化 1. 实验表明: 自然界只存在两种电荷，分别称为正电荷和负电荷。 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。 2. 电荷的量子化：电荷量不连续的性质.
带电体所带的电量： q=ne (n=±1, ±2, ……)
通常的计算中, e 取:
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（2) 中垂线上： 1 q E e 2 40 y 2 l 2 4 1 q E e 2 2 2 40 y l 4
E+
y
P
E
E-
y O +q x l
-q 1 ql E 2 E cos i 32 40 y 2 l 2 4 y l
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R1 R2
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9.3 电通量 真空中静电场的高斯定理
9.3.1 电场线（电力线） 1. 电场线的概念: 在电场中画一系列曲线，使得: 1) 曲线上一点的切线方向表示该点场强的方向； 2) 在垂直于场强方向的面积元 dS⊥上通过的电场线数 dN 正比于该点场强 E 的大小.
另一部分。
自然界的基本守恒定律之一．
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9.1.3 真空中的库仑定律 1. 点电荷 在具体问题中，当带电体的形状和大小与它们之 间的距离相比可以忽略时，可以把带电体看作点电荷.
2. 库仑定律 真空中两个静止的点电荷之间存在着相互作用力, 其大小与两点电荷的电量乘积成正比，与两点电荷间 的距离平方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连 线，同性电荷互相排斥，异性电荷互相吸引．
其数学表达形式 :
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q1q2 F k 2 r
——静电力(库仑力)
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q2 q1 矢量形式: 电荷q2对q1的作用力F12 : r F12 e12 q1q2 F12 k 2 e12 F2 1 -F1 2 r 0 真空中的电容率（介电常数） 1 k 0 8.85 1012 F/m 4π 0 1 q1q2 F12 e12 2 40 r 说明 (1) 库仑定律只适用于真空中静止的点电荷； (2) 静电力(库仑力)满足牛顿第三定律； (3) 在原子中，一般 F电 F万
V
V
1 dq e 2 r 40 r
: 电荷线密度 : 电荷面密度 : 电荷体密度
dq
dl dS dV
（线分布 ）
（面分布） （体分布）
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矢量积分步骤：
(1) 选取坐标系;
1 E 40
dq V r 2 er
(2) 选积分元，写出 dE ; (3) 写出 dE 的投影分量式: dE x , dE y , dE z ;
电场的特点: (1) 对位于其中的带电体有力的作用; (2) 带电体在电场中运动,电场力要做功.
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9.2.2 电场强度 1. 试验电荷q0 例:
点电荷
带电量足够小
q0 q0 B q0 A
C
q0
D
将同一试验电荷 q0 放入电场的不同地点： q0 所受电场力大小和方向逐点不同. 电场中某点P处放置不同电量的试验电荷:
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x
Ex dEx cosθ dθ (sin θ 2 sin θ 1 ) θ 4 a 4 0 a 0 θ E y dE y sin θ dθ (cosθ 1 cosθ 2 ) θ 4 a 4 0 a 0 讨论 y dE (1) a >> L 杆可以看成点电荷 dE y
设空间电场由点电荷q1、q2、…qn激发. 则各点电荷在P点激发的场强分别为:
E1
q1 e , 2 1 40 r1 1
En
P点的总场强为:
n E E1 E2 En i 1
qn e 2 n 40 rn 1
点电荷系在某一点产生的场强，等于每一个点 电荷单独存在时在该点分别产生的场强的矢量和．
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x rdr 2 0 (r 2 x 2 )3 / 2 x R rdr E dE 2 0 0 (r 2 x 2 )3 / 2 x [1 2 ] 2 1/ 2 2 0 (R x ) q x E [1 2 ]i 2 2 1/ 2 2 0 R (R x )
求: 圆环轴线上任一点P 的电场强度. 1 dq 解: dq dl dE e 2 r 4 0 r 1 dq E dE e 2 r 4 0 r
dEx
P
dE dE
r

x
R O dq
dE dE sin θ
dEx dE cosθ
圆环上电荷分布关于x 轴对称
(4) 根据几何关系统一积分变量; (5) 分别积分：Ex dEx , E y dE y , Ez dEz ;
(6) 写出合场强：E Ex i E y j Ez k .
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+q -q 9.2.4 电场强度的计算 例：电偶极子的场强 l 有两个电荷相等、符号相反、相距为l 的点电荷 +q和 -q，它们在空间激发电场。若场点P到这两个点 电荷的距离比 l 大很多时，这两个点电荷构成的电荷 系称为电偶极子. 由-q指向+q的矢量 l 称为电偶极子的轴． ql 称为电偶极子的电偶极矩(电矩)，用 pe表示． 下面分别讨论：
讨论
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x
P
r x (1) 当 x = 0（即P点在圆环中心处）时， E0 R
dq
(2) 当 x>>R 时,
O
1 q E 4 0 x 2 可以把带电圆环视为一个点电荷. 2 (3) x R时 , E Emax 2
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例： 求面密度为 的带电薄圆盘轴线上的电场强度． x 解： dq 2rdr dE 1 xdq dE P 4 0 (r 2 x 2 )3 / 2


1 ql 1 pe E i 3 3 40 y 40 y