h l D 2
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
处的直径测量值
l2 D h 1 3 0 0 m m 0 4 h
l2 D h 4h 5 0 0 m m 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 5 0 m ml
10
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 5 0 5 0 . 10 . 1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
11
二、函数随机误差计算
12
数学模型
函数的一般形式
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
2
x n
2
或 令
f 2 f 2 f 2 x x y 1 2 x n x x x 1 2 n
f ai xi
a a a
y 2 2 1x 1 2 2 2 x 2
【解】
故有
2 62 2 ( 5 0 m m ) （ 1 1 . 51 0 ） ( 0 . 0 2 9 ) 2 2 2 2 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 2 . 9 n m ) ( 1 6 . 6 n m ) 1 0 0 2 n m
2 2 n x n
15
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
a a a
y 22 1x 1 22 2 x 2
22 n x n
xi x第 i i个直接测得量 的极限误差16三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
【解】
有
l h 2 2 2 2 4 5 0 . 0 1 2 4 0 . 0 0 5 1 6 91 0m m 0 .1 3 m m D
D D D 1 2 9 2 . 6 m m 0 .1 3 m m 0 D
18
f2 2 f2 2 2 ( ) ( ) D l h
1 2 3 4 5 6 121 4 53 6
假设各个量之间的相关系数均为0。试用仿真计算 的方法分析该校准的误差分布及其标准差。 2 2 2 2 2 62 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 5 0 m m )(0 . 1 )( 0 . 5 81 0) y
误差传播系数为
2 2 l 5 f 0 0 1 1 2 4 2 2 h 4 h 45 0 f l 5 0 0 5 l 2 h 2 5 0
直径的系统误差
故修正后的测量结果
f f D l h7 . 4 m m l h
2 2 2
17
【例2】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量 5 0 m m 5 0 0 m m 得弓高 h ，弦长 l ，工厂检验部门又用高准确度 5 0 . 1 m m 4 9 9 m m。已知车间工 等级的卡尺量得弓高 h ，弦长l 人测量该工件弓高的标准差 ，弦长的标准 0 . 0 0 5 m m h 0 .0 1 m m 差 ，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的 l 测量结果。
计算机模拟测量系统
x y0 y=F (x) (y) y
x
x y= F(x) s
y s(y)
26
【例3】
用相同标称长度50mm的标准块规校准某块规，通 过两块规长度的直接比较，输出两者的长度差有如下 公式 y f ( x , x , x , x , x , x ) x x x ( x x x x )
20
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性 的传播关系
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
x两分量之间没有相互依赖关系的影 断定 x 与 i j 响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈 正负交替变化，反之亦然 x属于完全不相干的两类体系分量，如 x与 i j 人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的 误差分量 x虽相互有影响，但其影响甚微，视为可 x与 i j 忽略不计的弱相关
s i n f ( xx ,2 , . . . , x ) 1 n
函数随机误差公式为
1 f 2 f 2 f 2 x x 1 2 x n c o s x x x 1 2 n
2

2

2


xi x第 i i个直接测得量 的标准差
i j第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 D i个测量值和第 j个测量值之间的协方差 ij ij第 x i x j
f xi y x第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 i
( x ,x , ,x ) 1 2 n
故修正后的测量结果
2、 相关系数估计
19
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式

2 y
2 n 2 2 f f f f f 2 x x x 1 2 n i jx ix j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
c o s f xx ,2 , . . . , x 1 n
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
9
【例1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量 h 5 0 m m 得弓高 ，弦长 ，工 l 5 0 0 m m 厂检验部门又用高准确度等级的卡 尺量得弓高 ，弦长 试 l 4 9 9 m m h 5 0 . 1 m m 问车间工人测量该工件直径的系统 误差，并求修正后的测量结果。
23
3、 函数误差分布的模拟计算(自学)
随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
p(y)
p1( x ) p 2 ( x )
pn(x)
分布密度函数
解析方法 难以求得
计算机数值仿真计算
24
计算机随机模拟法的步骤
,x , ,x ①输入各输入量 x 及其算术平均值 1 2 n , , , 偏差
3
第一节 函数误差
4
基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
5
一、函数系统误差计算
6
间接测量数学模型
间接测量的数学模型
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
系统误差公式
y a xa x . . . a x 1 1 2 2 n n
2、三角函数形式
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
当ai 1
y x x . . . x 1 2 n
s i n f xx ,2 , . . . , x 1 n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得
f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n


f f f y x x x 1 2 n x x x 1 2 n
22
相关系数的统计计算公式
根据( x i , x的多组测量的对应值 j) 公式计算相关系数
( x i,x j)
( x x) ( x
i k i k k k j k
,x x ，按如下统计
ik jk
x j)
2 2 ( x x ) ( x x ) ik i jk j
x分别为 x jk x、 、 x i k 的算术平均值 i j
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误差放大或缩小的作用 x i 和 y 的量纲或单位不相同，则 f x i 起到误差单位换算的作用
8
几种简单函数的系统误差
x a x . . . a x 1、线性函数 ya 1 1 22 nn
1 2 n
x ,x , ,x 和标准 1 2 n
②产生如正态分布或均匀分布等所需误差分布等大 样本数的伪随机数，并绘制描述各输入直接量误差 分布的统计直方图 ③按函数测量模型公式计算该样本数的间接量 y ， 并绘制该函数误差分布的统计直方图； ④统计并输出该间接量的最佳估计值、标准差与及 误差分布区间半宽度。 25

得到
13
1、 函数标准差计算

2 y
2 n 2 2 f f f f f 2 D x x x 1 2 n i j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
2

2

2

或

2 n 2 2 f f f f f 2 2 x x x y 1 2 n i jx ix j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
14
处的误差传播系数
相互独立的函数标准差计算