难点
（1）2的意义及推导； （2）相关系数r的意义。
§10.4 统计案例 基础知识 自主学习
要点梳理 1．回归分析 (1)定义：对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析 的一种常用方法． (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1， y1)， (x2， y2)， „， (xn，yn)，其回归直线 y＝bx＋a 的斜率和截距的最小 二乘法估计分别为： ∑ xi－ x yi－ y ^ ^ i ＝1 b ＝ ，a ＝ y － b x . n 2 ∑ xi－ x ＝
题型二
充分、必要、充要条件的概念与判断
例 2 指出下列命题中，p 是 q 的什么条件(在“充分不 必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数 x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6； (3)非空集合 A、B 中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知 x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0， q：(x－1)(y－2)＝0.
思维启迪：(1)先根据已知计算相关系数 r，判断是否具有相关关系． (2)再利用公式求出回归方程进行回归分析．
2＋3＋4＋5＋6 解 (1) x ＝ ＝4， 5 2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0 y＝ ＝5. 5 (2) ∑ xiyi－5 x y ＝112.3－5×4×5＝12.3， ＝
2 2 2 ∑ x i －5 x ＝90－5×4 ＝10， ＝ 2 2 ∑ y i －5 y ＝140.8－125＝15.8， ＝ i 1 i 1 5 5 i 1 5
解析 由观测值 k＝27.63 与临界值比较， 我们 有 99.9%的把握说打鼾与患心脏病有关．
5．①若 r>0，则 x 增大时，y 也相应增大；②若 r<0， 则 x 增大时，y 也相应增大；③若 r＝1 或 r＝－1， 则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上 各个点均在一条直线上． 上面是关于相关系数 r 的几种说法， 在上面的说法中， ①③ ． 所有正确的序号是________
[难点正本
疑点清源 ]
独立性检验是本节内容的重点．独立性检验的一般 步骤为：(1)根据样本数据制成 2×2 列联表；(2)根 据公式计算 K2 的值；(3)比较 K2 与临界值的大小关 系作统计推断． 值得注意的是，使用 K2 统计量作 2×2 列联表的独 立性检验时，要求表中的 4 个数据都要大于 5，所 以，在选取样本容量时一定要注意．
第一部分 常用逻辑 用语
知识网络
四种命题
命题及其关系
充分条件与必要条件
用常 语用 逻 辑
简单的逻辑联结词
或
并集
且
非 量词
交集
补集
运算
全称量词 存在量词
全称量词与存在量词
含有一个量词的否定
概念与规律总结
• （1）命题的结构 • 命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 • “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联 结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题； 由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、 “非”构成的命题是复合命题 • 构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且 q(记作p∧q)；非p(记作┑q)
＝
； 2 2 2 2 ∑ x i －n x ∑yi －n y ＝ ＝
n n i 1 i 1
∑ xiyi－n x y ＝
i 1
②当 r>0 时，表明两个变量 正相关 ； 当 r<0 时，表明两个变量 负相关 . r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性 越强 .r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎 不存在线性相关关系 .通常|r|大于 0.75 时，认为两个 变量有很强的线性相关性．
2．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所 属的 不同类别 ，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称 为列联表．假设有两个分类变量 X 和 Y，它们 的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本 频数列联表(称为 2×2 列联表)为
2×2列联表
论；再写其他命题．，写其他命题时应该保留，
原命题的条件是 a>b，结论是 ac>bc.因此它的逆命题： 当 c>0 时，若 ac>bc，则 a>b.它是真命题； 否命题：当 c>0 时，若 a≤b，则 ac≤bc.它是真命题； 逆否命题：当 c>0 时，若 ac≤bc，则 a≤b.它是真命题．
思维启迪 首先分清条件和结论， 然后根据充要条件的
定义进行判断．
解
(1)在△ABC 中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，
若 sin A＝sin B， 因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三 个内角和为 180° )，所以只有 A＝B.故 p 是 q 的充要条 件． (2)易知，綈 p：x＋y＝8，綈 q：x＝2 且 y＝6，显然 綈 q⇒綈 p，但綈 p⇒綈 q，即綈 q 是綈 p 的充分不必要 条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是 q 的充 分不必要条件． (3) 显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B ，但 x∈B 一定有 x∈A∪B，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (4)条件 p：x＝1 且 y＝2，条件 q：x＝1 或 y＝2， 所以 p⇒q 但 q⇒p，故 p 是 q 的充分不必要条件．
^
5
a ＝ y －b x ＝5－1.23×4＝0.08， 所以线性回归方程为y ＝1.23x＋0.08. ^ (4)当 x＝10 时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万 元) ， 即估计使用年限为 10 年时， 维修费用约为 12.38 万元．
y1 a c a＋c y2 b d 总计 a＋b c＋d
x1 x2 总计
b＋d a＋b＋c＋d
2 n ad － bc 构造一个随机变量 K2＝ ，其中 a＋bc＋da＋cb＋d
n＝a＋b＋c＋d 为样本容量．
(3)独立性检验 2 K 利用随机变量 来判断“两个分类变量 有关系 ” 的方法称为独立性检验．
解析 1＋2＋3＋4＋5 x＝ ＝3， 5
1.2＋1.8＋2.5＋3.2＋3.8 y＝ ＝2.5. 5 ∴样本点中心为(3,2.5)．回归直线过样本点中心．
4．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了 1 671 人，经过计算 K2 的观测值 k＝27.63， 根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与 有关 的(有关，无关)． 患心脏病是________
题型分类
题型一
深度剖析
含有逻辑联结词命题的真假判断
例 1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、 “綈 p”形式的复合命题，并判断真假． (1)p：1 是质数；q：1 是方程 x2＋2x－3＝0 的根； (2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对 角线互相垂直； (3)p：5≤5；q：27 不是质数．
解析
若 r>0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y
也相应增大，故①正确；r<0，表示两个变量负相关， x 增大时，y 相应减小，故②错误； |r|越接近 1 ，表示 两个变量相关性越高，|r|＝1 表示两个变量有确定的关 系(即函数关系)，故③正确．
题型分类
深度剖析
题型一 线性回归分析 例 1 假设关于某种设备的使用年限 x(年)与所支出的维修 费用 y(万元)有如下统计资料： 2 3 4 5 6 x y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
12.3 12.3 12.3 12.3 ∴r＝ ＝ ＝ ≈ ≈0.987. 158 2× 79 1.4×8.9 10×15.8 ∵r>0.75， 所以认为 x 与 y 之间具有线性相关关系，求线性回归方程是有 意义的．
∑ xiyi－5 x y 112.3－5×4×5 i＝1 (3)b ＝ 5 2 ＝ ＝1.23， 2 2 90－5×4 ∑ x i －5 x ＝
解 (1)p 为假命题，q 为真命题．
p∨q：1 是质数或是方程 x2＋2x－3＝0 的根，真命题． p∧q： 1 既是质数又是方程 x2＋2x－3＝0 的根， 假命题． 綈 p：1 不是质数，真命题．
(2)p 为假命题，q 为假命题． p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，假命题． p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，假命题． 綈 p：有些平行四边形的对角线不相等，真命题． (3)p 为真命题，q 为真命题， ∴p∨q：5≤5 或 27 不是质数，真命题． p∧q：5≤5 且 27 不是质数，真命题． 綈 p：5>5，假命题．
概念与规律总结
• （4）“或”、“且”、“非”的真值判断 • “﹃p”形式复合命题的真假与P的真假相反； • “p∧q”形式复合命题当P与q同为真时为真， 其他情况时为假； • “p∨q”形式复合命题当p与q同为假时为假， 其他情况时为真．
概念与规律总结
• （5）全称量词与存在量词 • 全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个， 每一个等； • 存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个， 有的，有些等； • 全称命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x） • 特称命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x）
基础自测 1．相关系数度量( A ) A． 两个变量之间线性相关关系的强度 B．散点图是否显示有意义的模型 C．两个变量之间是否存在因果关系 D．两个变量之间是否存在关系
解析 相关系数来衡量两个变量之间线 性相关关系的强弱．
3．已知 x，y 之间的数据如表所示，则回归直线过点( C ) 1 2 3 4 5 x 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 y A．(0,0) B．(2,1.8) C．(3,2.5) D．(4,3.2)
第二部分