因为 n
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2

2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
称为量子数（quantum number） n 1,2,3,
i [ ] 2 t 2m x
2 2
定态薛定谔方程 在稳定的外力场中，微观粒子的势能U与时间t无关，即： U= U(x)
2 2 2 ( x ) ˆ U ( x )]( x ) E( x ) H 2 U 2m 2m x 2
ˆ ( x ) E( x ) H——哈密顿算 Nhomakorabea本征方程
（能量本征方程）
其一维的势能图如下图所示，
其形状与陷阱相似，故称为势阱。 质子在原子核中的势能曲线也是势阱. 为了计算简化，提出了一个理想的势阱模型 ——无限深势阱
§2.2 一维无限深方势阱中的粒子
0 （0＜x＜a) 势函数 U ( x) （ x ≤ 0 或x ≥a)
n 1 时，在
a 3a 当 n 2 时，在 x 和 x 4 4 的概率最大
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）： 由： k
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
2 2 2 2 h2 p 2 E n n Ek 2ma 2 8ma 2 2m
2mE n 2 a
能级图为
n4
E4 16E1
n3
n1
E3 9E1
E2 4E1 E1
h2 En n2 8ma 2
n2
n 1,2,3,
讨论：
a 0 粒子的能量不能连续取值，只能取分立值
讨论：

粒子的能量不能连续取值，只能取分立值 粒子的最小能量不能等于零
h2 En n2 8ma 2
粒子的最小能量状态称为基态 最小能量——零点能
h2 En n2 8ma 2
粒子能量趋于连续分布
n 1,2,3,
3) 在一定条件下，量子力学解可趋近于经典力学的情况： a. 当量子数n足够大时： n 1
b. 当m或a足够大时，同样得到上述结论 当 n 能量的量子 化效应就不显著，可认为能 量是连续，
2 2 2 拉普拉斯算符 2 2 2 x y z 2
2 ˆ H 2 U 2m
哈密顿算符
上述方程简写
说明 1）薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，其地位类 似于经典力学中的牛顿定律； 薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
ˆ i H t
Erwin Schrö dinger
2 i [ U ( r , t )] ——一般形式的薛定谔方程 t 2m
2
2 2 2 x 2 y 2 z 2 2
用“算符”代表物理量、 用求“特征值”的办法 求物理量的具体取值。 ——这是量子力学中处 理问题的基本数学手段。
§ 2.3
U ( x)
E U0 :
势垒穿透
U
U0
方势垒
U0
(0 x a )
( x 0，x a)
0
E
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
经典理论或量子力学，粒子都 可以穿过区域Ⅱ进入区域Ⅲ。
E U0 :
o
a
x
从经典理论看，由于粒子动能必须为正值， 所以不可能进入区域Ⅱ和区域Ⅲ。
但从量子力学分析，粒子仍可以穿过区域Ⅱ进入 区域Ⅲ。
（ 0＜ x＜ a)
（ x ≤ 0 或x ≥a)
2 2 n n ( x ) sin x a a
2
2 n n ( x) sin x a a
n=1 n=2 n=3
2 2 n n ( x ) sin x a a
2
a
当
a
a x 2
处粒子出现的概率最大 处粒子出现
——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波
2 n 0 A2 sin2 a xdx 1 A a 2 n n ( x) sin x a a
( x ) dx 1


2
2 n sin x n ( x) a a 0 其中： n 1,2,3,
此结果的物理意义： 1) 势阱中的粒子在各处的概率密度 在0＜x＜a的区域：
§ 2.1 薛定谔得出的波动方程
一、薛定谔方程（Schrö dinger’s equation） 1926年薛定谔提出 “波动力学”理 论 其核心内容: 物质波的波动方程
——称为薛定谔方程
（适用于低速运动粒子的情况） 一个质量为m的微观粒子在外场中
沿x轴方向运动时，其势能U=U(x,t),这
时波动方程为：
U
U0
E
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
2 d 2 ( x) U ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx 在区域Ⅰ: ( x 0)
设波函数为 1 ( x) 薛定谔方程
在区域Ⅲ: ( x a) 设
a 在区域Ⅱ: (0 x a) 设 2 ( x) 2 2 d 2 U 0 2 E 2 2 2m dx
( x) 0
2 d 2 ( x ) 2 mE E( x ) k 2 2 2m dx 2
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 dx 2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： 势阱内（0＜x＜a) ：
( x) 0

U(x)=0
a x
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 dx 2

U(x)=0
x
a 0 按照经典理论，处于无限深势阱中的粒子，其能量可取任意 的有限值，粒子在宽度为 a 的势阱内各处的概率是相等的。 但从量子力学来看，这些问题又是什么样的情况呢？ 由于势能与时间无关，所以只需解一维定态薛定谔方程
2 2 ( x ) U ( x )]( x ) E( x ) 2m x 2
2
n=1 n=2 n=3
——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波
a
a
h2 En n2 8ma 2
2
n 1,2,3,
h 2a ——波长量子化 pn pn 2mEn n p n En n 2m
无限深势阱中粒子的每一个能量本征值对应于
德布罗意波的一个特定波长的驻波。
ˆ ——称为能量算符 E i t ____角动量算符 Lrp
r r ____坐标算符 ˆ i____动量算符 p
量子力学用“算符”代表物理量
2 2 i [ U ( r , t )] 一般的薛定谔方程 t 2m
2 2 ( x ) U ( x )]( x ) E( x ) 2m x 2
势阱外：（x ≤ 0 或x ≥a）
0
U(x)=0
a
d ( x ) ( x ) E ( x ) 2m dx 2
2 2
x
对于E为有限值的粒子，要使上述方程成立，唯有 势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2 3 E 3 2 2m dx
o
x
d 1 E 1 2 2m dx
2 2
3 ( x)
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
1 Aeik x Ae ik x
1 1
2 Be
k2 x
3 Ce
ik1 x
在粒子总能量低于
势垒壁高 ( E U 0 ) 的情况下 粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
“隧道效应”
2 2 i [ U ( r , t )] t 2m
2)
ˆ i H t
由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理 （量子力学第一原理） 设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2