第二章 薛定谔方程
一.自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子波函数
( x,t)
Ae
i
(
px
x
t)
微分,得到方程
(x,t t
)
－i
E
(
x,t
)
2
( x,t )
பைடு நூலகம்
p
2
x
( x, t )
x2
2
由 E＝ px2
2m
得自由粒子的薛定谔方程
i t
(x, t)
2 2m
2 x 2
( x,
t)
推广到势场U(x,t)中的粒子，薛定谔方程为
能量的平均值？
解：已知无限深势阱中粒子的
n(x)
2 sin n x, n 1,2,3,
aa
En
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
则 (x) C f (x)
1 2
2 sinx
aa
2 a
sin
2x
a
1
1
2 1( x) 2 2 ( x)
多次测量能量(可能测到的值)
E1
22
• 阱内：
2 2m
d2 dx 2
(
x
)
E(
x
)
令
k
2
2mE 2
得 ( x) k2( x) 0
•
阱外：
[
2 2m
d2 dx 2
](
x)
E(
x)
4.分区求通解
• 阱内： ( x) A cos kx B sin kx A和B是待定常数
• 阱外：( x) 0 5.由波函数自然条件和边界条件定特解
C
E
(
x
)
e i
Et
三.能量算符的本征值问题
Hˆ E x E E x
本征值取分立值时的本征值问题
Hˆ n x Enn x n —量子数
{E1，E2，….，En，….}—能量本征值谱
i 是能量取Ei时的本征态
{1 , 2 ,...., n ,....} —本征函数系
力学量算符的本征值问题
En
n2
22
2me a 2
(0.6051017 n2 )
37n2 (ev)
a 1010
例如：
E1 37ev, E2 148ev
把质子看作是局限在原子核大小的无限深势井中，按 能级公式：
用哈密顿量表示薛定谔方程
i
(r ,t)
Hˆ
(r ,
t
)
t
定态薛定谔方程
若 Hˆ 0，或U(x)与时间无关，
t 则薛定谔方程可分离变量。
一.定态薛定谔方程
Hˆ ( x) E( x)
2 [ 2m
d2 dx 2
U ( x)]( x)
E( x)
二.定态
能量取确定值的状态 定态波函数 E ( x, t )
• 最低能量(零点能) 性
E1
22
2ma 2
0
—
波动
(2)本征函数系
a
0 n
2
dx
1 B2
a sin 2
0
n
a
xdx
a 2
B2
B 2 a
n(x)
2 sin n x
aa
( n 1,2,3, )
(3)本征函数系的正交性
可证
a
*m ( x)n( x)dx m, n
0
(4)概率密度
2ma 2
12
,
E2
22
2ma 2
22
概率各1/2
能量的平均值
11
5 2 2
E 2 E1 2 E2 2 2ma 2
例题1：设原子的线度约为1010 m ，原子核的线度约为
1014 m ，已知电子的质量为 me 9.111031kg ，质子的
质量为mp 1.67 1027 kg 估计原子中电子的能量和原子 核中质子的能量。 解：把电子看作是局限于原子大小的无限深势井中，按 能级公式有：
构成“正交”、“ 归一”的“完备” 函数系
• 正交 • 归一
*m ( x)n ( x)dx m, n
m, n＝
1, 当 m n 时 0, 当 m n 时
*n ( x)n ( x)dx 1
• 完备
任一物理上合理的波函数(x)
(x) Cnn x
n1
• 展开系数的意义
若(x)是归一化的波函数,则
i ( x, t ) [ 2 2 U ( x, t )]( x, t )
t
2m x2
二．物理启示
定义能量算符,动量算符和坐标算符
Eˆ i , Pˆ i , xˆ x
t
x
三. 哈密顿量
Hˆ
2
2
U (r ,t)
2m
粒子的总能量
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
若 Hˆ 0 t
称 Hˆ 为能量算符
2
Cn 1
Cn 2为n(1 x)中包含本征态的概率
势阱中的粒子和一维散射问题
一.一维无限深势阱中的粒子
1.粒子在这种外力场中的势函数
U(x) 0 (0 x a)
U(x)=0
U(x) ( x 0， x a)
x
2.哈密顿量
Hˆ
2 2m
d2 dx 2
U( x)
0
a
3.定态薛定谔方程
En
无限深方势阱中粒子的
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
动量为：
pn
2mEn
n
a
k
粒子的德布罗
意波长为： n
h pn
2a n
2
k
例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒
子的状态为 f ( x) sinx sin 2x
a
a
多次测量其能量。问
每次可能测到的值和相应概率？
Wn
(
x)
n
(
x)
2
2 a
sin2
n a
x
当 n 时，量子 经典
(5)能级---能量的离散值， 在公式：
En
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
能量值称为能量本征值，n为量子数
n(x)
2 sin n x, n 1,2,3,
aa
全部波函数为：
能量本征函数
n n exp(2iEnt / h) 能量本征波函数
能量本征值---每个本征波函数所描述的 粒子的状态。
无限深方势阱中粒子的能量本征函数和概率 密度与坐标的关系（见图）
1 在各处概率密度与粒子的能量有关。 在经典理论中，粒子在阱内来回自由运动，在各 处概率密度应该相等，与粒子的能量无关。
2 量子粒子的最小能量不等于零，E1 22 / 2ma2
解释：由不确定关系，因为量子粒子在有限空间 内运动，速度不为零，而经典粒子可能处于静止 的能量为零的最低状态。
一. 力学量用算符表示 基本假定：力学量用算符表示。通过对相 应经典力学量算符化得到
算符化规则：
E Eˆ it
p
pˆ
i
r
rˆ
r
例如：
E
p
2
U (r)
2m
Lrp
Hˆ pˆ 2 U r 2 2 U (r)
2m
2m
Lˆ r pˆ
二.本征函数的性质
{1,2 ,....,n ,....}
(0) 0 A 0
(a) 0 sin ka 0 ，（B 0）
ka n , (k 0)
k n , n 1,2,3,
a
(1)能量本征值
由
k
2＝
2mE 2
n
,
k n
a
得
En
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
• 能量取分立值（能级） 能量量子化
• 当n 时，量子化 连续