x a sec
y
b
tan
（
为参数， [0, 2 ) 且
2
,
3 2
）。
（注： sec
1 cos
）
要点注释：参数 表示双曲线上某一点的离心角。
3．抛物线的参数方程
抛物线 y2 2 px ( p 0 )的参数方程为：
x 2 pt2
（ t 是参数）
y 2 pt
要点注释：参数 t 表示抛物线上一点（除顶点）与其顶点 O 连线的斜率的倒数，即 t 1 。 kOP
要点三：参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程
（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有：
①代入法．先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程．
②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．
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例如：对于参数方程
x
a
t
1 t
x
y
a cos b sin
（
为参数）。
要点注释：参数 表示椭圆上某一点的离心角．如图所示，点 P 对应的离心角为 QOx （过 P 作 PQ x 轴，交大圆即以 2a 为直径的圆于 Q ），切不可认为是 POx 。
4．双曲线的参数方程
双曲线
x2 a2
y2 b2
1（
a
0,
b
0 ）的参数方程为：
（1）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出 圆上点的横、纵坐标的特点。
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（2）圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆的问题提供了一条新的途径．
3．椭圆的参数方程
椭圆 x2 y2 1（ a b 0 ）的参数方程为： a2 b2
M 0 的距离。
（2）在一般式②中，参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义，若 a2 b2 =1，②即为标准式.
2．圆的参数方程定义：
已知圆心为 (a,b) ，半径为 r 的圆 (x a)2 ( y b)2 r2 的参数方程为：
x
y
a b
r cos r sin
（
是参数，
R
）；
要点注释：参数 表示 x 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。如图：
【学习目标】
专题四：参数方程
1．掌握参数方程的概念，并通过具体案例体会一些特殊曲线其参数方程中参数的几何意义．
2．分析直线、圆和圆锥曲线的几何意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
3．掌握参数方程与普通方程的互化方法，并通过实例进行比较，进一步体会某些曲线用参数方程表示比用普通方 程表示更方便，感受参数方程的优越性．
x0 t cos y0 t sin
（
t
为参数）
一般式：经过点
M0
x0，y0
，斜率
k
=
tan
=
b a
的直线的参数方程是：
x
=x0
+at，
（
y=y0 +bt.
t
为参数）
②
要点注释：
（1）标准式中参数 t 表示直线 l 上以定点 M0 为起点，任意一点 M(x,y)为终点的有向线 段的长度再加上表示方向的正负号，也即 | M0M || t | ， | t | 表示直线上任一点 M 到定点
求曲线参数方程的主要步骤：
第一步，画出轨迹草图，设 M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置， 以便于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：
（1）曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；
例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定 点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
y
f (t)...........① g (t )
并且对于 t 的每一个允许值，方程组①所确定的点 M (x, y) 都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线 的参数方程，联系 x, y 间的关系的变数 t 叫做参变数（简称参数）．
相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程 F(x, y) 0 ，叫做曲线的普通方程。
2、普通方程化为参数方程
（1）把曲线 C 的普通方程 F(x, y) 0 化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t，先确定一
4．通过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线，变幅渐开线，外摆线，内摆线，换摆线）的生成过程；了解摆线 在实际中的应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨迹中的作用。
【要点梳理】
要点一：参数方程 参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数，即
x
cos
如果
t
是常数，
是参数，那么可以利用公式
sin2
+cos2
=1Βιβλιοθήκη 消参；ya
t
1 t
sin
如果 是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2－(m－n)2=4mn 消参．
③其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等．
要点诠释： 注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程 要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．
有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数 得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．
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（2）曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可 以省略．
要点诠释：
普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方 程等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．
要点二：直线和曲线的参数方程 1．直线的参数方程：
标准式：经过定点 M0 (x0 , y0 ) ，倾斜角为 的直线的参数方程是：
x
y
要点诠释：
（1）参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变 数．
（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．
（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变 量 x、y 间的间接联系。