o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
7
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
(在 上 xyz3) 2
4 3
23ds
2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
8
三、物理意义---环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
2
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {c , 中 c, o c o } o s s s
3
(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy PdxQdyRdz
y
ds z
P QR
2. 旋度的定义:
i jk 称向量 为向量场 (r的 oA )t.旋度 x y z
P QR
10
i jk 旋度roAt x y z PQR ( R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k . y z z x x y
11
斯托克斯公式的又一种形式
x 1
6
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz
其中是平面x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
x
y
z PdxQdyRdz
P Q R rA o n td S A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
15
习1题 07 P183
1(1)(3)(4)
总习题十 P184
3(1)(3)(5)(6),4(1)(2)(3), 5,6,7,10
16
1. 环流量的定义:
设向量场
A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
则 沿 场A中 某 一 封 闭 的 有 向 C上曲的线曲 线 积 分
CAdsC PdxQdyRdz
称为向量A场沿曲线C 按所取方向的环.流量
9
利用stokes公式, 有
i jk
环流量 CA dsx
12
斯托克斯公式的向量形式
rA o n td S A t d或 s(r A o )n d t S A tds
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o ( s P R )co ( s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q o c R o c s o s s
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线
上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xo面 y 的平面闭区域时)
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
4
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dydzdzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
13
环 流 r A o d s 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
向量场 A沿有向闭曲线 的环流量等于向量 场 A的旋度场通过 所张的曲面的通 量.( 的正向与 的侧符合右手法则)
14
四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
y
ds z
PQR
dyddz zdxdxdy