谈含参函数零点问题的解题策略
摘要：含参函数零点问题一直是高考热点和难点，全国卷中常常均导数压轴题
形式出现，对大部分学生而言有一定的难度。

本文主要针对此类问题举例说明两
种方法：直接法和参变分离法，让学生有迹可循，进而达到落实数学核心素养的
目的。

关键词：直接法参变分离法导数零点问题含参函数
导数及其应用一直是高考的重点与难点，尤其是含参函数的零点问题[1-3]，一般
以基本初等函数为载体，考察函数的单调性，函数的零点存在性定理及指数函数、幂函数、对数函数的增长速度，难度较大，解题时要熟练运用导数与函数单调性
的关系，注重函数与方程化归、分类讨论及数形结合等思想方法的应用。

针对导数压轴题中的含参函数零点问题，本文将用两道例题来说明两种常用方法：直接法和参变分离法，例一是已知零点情形求参数范围，例二是直接求解函数零
点个数，其中例一选自2018年全国卷理科Ⅱ卷21题第二问，例二选自2018年
广一模理科21题第一问。

直接法是通过对参量进行分类讨论直接分析所求函数
的单调性、极值、最值和极限，大致确定函数的图象进而分析函数的零点个数。

参变分离法则是利用函数与方程思想把参数和变量进行分离，得到一个不含参的
函数和常函数，通过分析不含参函数的大概走势，进而确定不含参函数与常函数
交点个数，从而解决原函数的零点问题。

在采用这两种方法求解时，我们利用极
限思想降低计算复杂度。

虽然在高中数学没有涉及极限的计算方法，但是人教A
版选修2-2中提到了极限的思想，所以我们根据指数函数、幂函数、对数函数增
长速度来求一些简单函数的极限来确保函数在某些区间满足零点存在性定理。

本
文将通过对这两道例题讨论分析说明两种求解方法，让学生有迹可循，进而达到
落实数学核心素养的目的。

通过上述两个例题的详细解析，我们可以直观感受到两种方法的特点。

直接法解
决零点问题时，是直接对所研究函数进行分析，求其单调性、极值、最值，并且
根据指数函数、幂函数、对数函数增长速度求函数的极限，从而大致确定函数的
图象，进而分析函数的零点。

采用直接法可以对所求函数有更全面的认识，如果
零点问题作为导数压轴题第一问，采用直接法在回答第二问时就避免再次分析函数，相比参变分离法就有较大优势。

参变分离法求解含参函数零点问题时，首先
根据函数与方程思想，把问题转化成直线与不含参数的函数图象交点问题，然后
通过分析不含参函数的单调性、极值、最值和极限确定它的大致图象，从而判断
直线与其交点个数。

根据上述例题可以发现参变分离后只需分析不含参函数的性质，相比直接法在分析函数时更简单，所以单纯求解零点问题时参数分离法更具
优势。

在采用这两种方法求解时，我们采用了极限的思想分析函数的走势，避免
了对含参函数取点判断函数值正负以使其满足函数零点存在性定理，从而大大降
低了计算复杂度。

综上所述，针对含参函数零点问题，本文采用了直接法和参变分离法进行解决，
对于不同的情况，两种方法各有优势。

如果零点问题作为第一问，优先采用直接法；如果零点问题为第二问，优先采用参变分离法会更简单些。

针对不同情况，
采用不同方法，可以取得事半功倍的效果。

参考文献
[1] 段伟军.一道含参零点问题课堂教学展示与拓展[J].中学数学研究,2018(03):15-17.
[2] 张慧.函数零点变化多端妙借导数巧解无忧[J].高中数理化,2018(03):19-20.
[3] 吴志鹏.两类函数零点问题的解答策略[J].数理化学习(高中版),2018(01):28-30.。