§2.1 矩阵的概念 几种特殊的矩阵
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一、基本概念
定义 由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a21
a12 a22

a1n
a2 n
am1 am2 amn
称为m行n 列矩阵，简称m n 矩阵. 记作
记为 A = B .
与
a b c d e f
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当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为 零矩阵, m n 零矩阵记为 Ｏm n , 在不会引起
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4 .两个矩阵相等 定义 两个同型矩阵 A = ( aij )m×n 与B = ( bij )m×n ,
如果对应元素相等, 即 aij = bij , i = 1,2, … , m , j = 1, 2, … , n , 则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 例如
3 1 4 2 5 6
n× n 矩阵
A 称为 n n 方阵, 常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵, 简记为 A= ( aij )n 或
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An
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2 .行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如 A = ( a11 , a12 , … , a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量). 如
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a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
(1)
这 m n 个数叫做矩阵的元素, 数aij 位于矩阵 A 的 第 i 行第 j 列, 称为矩阵A的(i ,j)元. 以数aij 为 (i ,j) 元的矩阵简记为 ( aij ) 或 ( aij ) mn ,
mn
矩阵A也记作 Amn .
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（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) .
关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同; 行列式是一个 数值. 例如 5× 2 矩阵
1 2 4 3 9 8 5 2 4 2 1 0
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主对角线
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为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 Λ= diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
3 0 0 diag(3,1,2) 0 1 0 . 0 0 2
或 En 或 E。
I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 。
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11a22anna1。
单位矩阵的作用： 类似于数字“1”的运算。
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5.对称矩阵
如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵，即 a11 a12 A a1n 例如，矩阵 1 1 1 0 都是对称矩阵。
３×４矩阵
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1 3 9 5 3
2 0 8 1 5
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二、几个常用概念
1.n阶方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵． 例如
a11 a21 A a n1
a12 a1n a22 a2 n . an 2 ann
混淆的情况下,
也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用： 类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
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2.对角矩阵
主对角线上的元素不全为零, 其余的元素全为零
的方阵称为对角矩阵. 如
a11 a22 A . a nn
a11 a21 B . a m1
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3 .同型n 与 B = ( bij )p×q , 则称这两个矩阵为同型矩阵. 如果满足m = p
且 n = q , 即这两个矩阵行数相等，列数也相等,
对角矩阵
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3.数量矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
A a 0 0 0 a 0 0 0 a 。
数量矩阵是特殊的对角矩阵：a11a22anna。
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4.单位矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或 I,
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a12 a22 a2n

a1n a2n ann
。
在对称矩阵中，有aijaji。 1 0 3 0 2 1 3 1 3
和