3 圆有关的最值问题 一、求解方法： 1．根据“三角形三边关系”求解： abcab 2．动中有静，抓住不变量求解． 3．旋转必产生圆，很多情况在相切位置产生最值． 4．四点共圆（补充）． 五个基本判断方法： (1)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆． (2)若一个四边形的一组对角互补（和为180。），则这个四边形的四个点共圆． (3)若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆． (4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆． (5)同斜边的直角三角形的顶点共圆， 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化． 3

三、中考展望与题型训练 例一、圆外一点与圆的最近点、最远点 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 ．

例二、正弦定理 2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为 ．

3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是 ．

例三、不等式、配方法 4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？ 3

5．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（ ）

A．4 B． C． D．2 6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．则线段AB的最小值是 ．

例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角） 7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的 垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是____ 3

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是 ．

9．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ） A． B． C．3 D．2

【题型训练】 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交

于点F，则点F的纵坐标的最大值为 ． 3

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（ ） A．4 B． C． D．

12．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）

A．4.75 B．4.8 C．5 D．4 13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D是BC的中点，点E在AB边上 运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为____

14．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0）， 3

半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ） A．2 B．1 C． D．

15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ） A．3 B． C． D．4 16．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（ ）

A． B．2 C．3 D．4 17．如图，∠BAC＝60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长

度的最大值为 ． 3

18．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP＝2，点B是直线y＝x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan∠ABP＝m，则m的取值范围是 ．

19．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（﹣2，0）、B（2，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 ．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC =6，圆A和圆B相切于点D， 且分别交线段AC，BC于点E，F．则阴影部分（在△ABC内，且在两圆外）面积的最大值 是____． 3

21．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（ ）

A．2﹣2 B． C． D． 22．如图，平面直角坐标系中，分别以点M（2，3）、N（3，﹣5）为圆心，以1、2为半径作⊙M、⊙N，A、B分别是⊙M、⊙N上的动点，P为y轴上的动点，则PA+PB的最小值等于 ．

23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），点P在以D（﹣4，﹣2）为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则m的取值范围是 ． 3

24．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D是弧ACB上的一个动点（不与点A、B重合）．连接BD．过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若⊙O的半径为2cm，则CE长的最小值为 cm．

25．在平面直角坐标系中，点A是直线y＝x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 26．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离

为 ．

28．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B 3

上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为 cm． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是 ．

30．已知条件如图所示，点D是AC上动点，求弦EF长度的最小值．

31．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′，如图，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．

32．在平面直角坐标系中，以点A(10，8)为圆心的⊙A与y轴相切。点B(0，16)，点C是 3

⊙A上任意一点，点M是线段BC的中点，求线段OM的取值范围． 答案与解析 1．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解． 【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE． 在直角△ABC中，AB＝＝＝5， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CE＝AB＝． ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME＝AD＝1． ∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤． 故答案是：≤CM≤．

2．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时 3

线段EF＝2EH＝2OE•sin∠EOH＝2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周

角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案． 【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短， 如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4， ∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°， ∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝， 由垂径定理可知EF＝2EH＝， 故答案为：．

3．【分析】方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，求出当DK为直径时符合，再求出PM即可； 方法二、求出C，M，O，P，四点共圆，连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．