对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如 下简单形式，以便于应用。 （1）二阶系统（n=2），特征方程为
Ds a2 s 2 a1s a0 0
劳斯表为
s a2 s1 a1 s a0
0
2
a0
根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是： a2>0，a1>0，a0>0
（2）三阶系统（n=3），特征方程为
dm d m1 d bm m xi t bm1 m1 xi t b1 xi t b0 xi t （n≥m） dt dt dt
n n1
m m1 M s bm s bm1s b1s b0 系统传 Ds an s n an1s n1 a1s a0 递函数
Ds a3s a2 s a1s a0 0
3 2
劳斯表为
a3 s3 a 2 2 s a2 a1 a3 a0 1 s a 2 0 s a
0
a1 a0 0 0
由劳斯判据，三阶系统稳定的充要条件为：
a3>0，a2>0，a1>0，a0>0，a1a2>a0a3
【例6.1】二阶系统的特征方程为
M s N s X i s 对上式进行拉氏变换，得X o s Ds Ds
M s ＝Gs Ds
N(s)是与初始条件有关的s多项式。 根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的 时间响应（即零输入响应），取 X i s ＝0 ，得到 N s X o s Ds 若si为系统特征方程D(s)=0的根（即系统传递函数 的极点。i=1，2，…，n），且si各不相同系统稳定的概念和条件 1.系统稳定的基本概念 若控制系统在初始偏差的作用下，其过渡过程 随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，则称系统 为稳定。否则，系统称为不稳定。
2.系统稳定的充分必要条件 设线性定常系统的微分方程为
d d d an n xo t an1 n1 xo t a1 xo t a0 xo t dt dt dt
Ds s 2 7.69s 42.3 0
试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 【解】已知a2＝1，a1＝7.69，a0＝42.3，各项 系数均大于0，由二阶系统劳斯判据式知，该系 统稳定。 【例6.2】已知反馈控制系统的特征方程为
要使全部特 征根s1， s2，…，sn 均具有负实 部，就必须 满足以下两 个条件：
必要条件： 都不等于零。 ai>0 （2）特征方程的各项系数 ai的符号都相同。
（1）特征方程的各项系数ai（i=0，1，2，…，n）
6.2.2 系统稳定的充要条件 设系统的特征方程为 n n1 Ds an s an1s a1s a0 0 将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表
n N s sit xo t L1 X o s L1 A e i D s i1
Ai是与初始条件有关的系数。 若系统所有特征根si的实部Re[si]<0，则零输 入响应随着时间的增长将衰减到零，即
lim xo t 0
an s s1 s s2 s sn 0
式中，s1，s2，…，sn为系统的特征根。
an1 ＝－s1＋s2＋＋sn an an 2 ＝＋s1s2＋s1s3＋＋sn－1sn an a n 3 ＝－s1s2 s3＋s1s2 s4＋＋sn－2 sn－1sn an a0 n ＝－1 s1s2 sn an
an1 an7 an1 an5 an1 an3 A1 A4 A1 A3 A1 A2 ， B3 ，… B2 ， B1 A1 A1 A1
劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件为： 劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。 还指出： 劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系 统特征方程具有正实部特征根的个数。
sn an an2 a n 3 A2 B2 D2 an4 a n 5 A3 B3 a n 6 a n 7 A4 B4 s n1 an1 s n2 A1 s
n 3
B1 D1 E1 F1
s2 s1 s0
an an6 an an 4 an an2 an1 an7 ，… an1 an5 an1 an3 ， A3 A2 ， A1 an1 an1 an1
6.2 劳斯（Routh）稳定判据
劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程 式根与系数的关系建立的。 6.2.1系统稳定的必要条件 设系统的特征方程为
Ds an s n an1s n1 a1s a0 0 n an 1 n 1 a1 a0 an s s s a a a n n n
t
此时系统是稳定的。 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部， 则零输入响应随着时间的增长而发散，即
lim xo t
t
此时系统是不稳定的。
若系统特征根具有重根时，只要满足Re[si]<0，有
lim xo t 0
t
系统就是稳定的。 系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程的根全部具有负实部。系统的特 征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统 稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传 递函数的极点全部位于[s]平面的左半平面。 若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位 于原点，其余极点均位于[s]平面的左半平面，则 零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处 于临界稳定状态。临界稳定系统属于不稳定系统。