第三章连续型随机变量3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。

)()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。

）（解：)0(1)()4();(1)()3();0()(P 2);()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ3、2函数x211F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果在其它场合恰当定义。

在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞<<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ⎩⎨⎧≥<<∞=01)()(~x x X F x F －则)(~x F 可以就是某一随机变量的分布函数。

3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为[]。

，）；（，）；（，）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ230302201 解:(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=⎰πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=⎰πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。

3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有[][]。

－－故上式右端＝知由证：）1)(21a)P(1a)(3)P(1;-2F(a))(21)(1)1(,)(2)()()2(;)(21)()(1)(1)(1)(1)(1)()()1(.)(F 12)()3(;1)(2)()2(;(p 21)(1)()1(00000-=<=>-=-==<-=--=-=-=+=-==--=>-=<-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞-∞-∞-∞--∞-a F dxx p a F dx x p dx x p a P dx x p dx x p dx x p a F dx x p dxx p dx x p dx x p a F a a P a F a P dx x a F a F a a a a a aaaaaa ξξξξξ3、5设)(1x F 与)(2x F都就是分布函数,证明F(x)=aF(x)+bF(x)也就是一个分布函数,并由此讨论,分布函数就是否只有离散型与连续型这两种类型？ 证:因为)(1x F与 )(2x F 都就是分布函数,于就是F(x1)＝aF1(x1)+bF2(x2)<= aF1(x1)+bF2(x2)= F(x2) 又F(x-0)= aF1(x1-0)+bF2(x2-0) = aF1(x)+bF2(x)= F(x) 所以,F(x)也就是分布函数。

取a=b=1/2,又令F1(x)=0 x<=0,1 x>0 F2(x)=0 x<＝0 x 0<x<=1 1 x>1 此时⎪⎩⎪⎨⎧><=<+<==11102/)1(00)(F x x x x x既然,与F(x)对应的随机变量不就是取有限个或可列个值,故F(x)不就是离散型的,而F(x)不就是连续函数,所以它也不就是连续型的。

3、6设随机变量ζ的分布函数为1(1) 0()0 0x x e x F x x -⎧-+≥=⎨<⎩求相应的密度函数,并求(1)P ζ≤。

解:[1(1)]x x dx e xe dx---+=,所以相应的密度函数为()0 02(1)(1)1x xe x p x x P F eζ-⎧≥=⎨<⎩≤==-3、7设随机变量ζ的分布函数为20 x<0()Ax 0x<10 x 1F x ⎧⎪=≤⎨⎪≥⎩求常数A 及密度函数。

解:因为F(1-0)=F(1),所以A ＝1,密度函数为2 0x<1()0 x p x ≤⎧=⎨⎩其他3、8随机变量ζ的分布函数为F(x)=A+B arctg(x),常数A 与B 及相应的密度函数。

解:因为()()0lim 2lim ()()12x x F x A B F x A B ππ→-∞→+∞=+⋅-==+⋅-=所以 11B 2A π＝，＝， 因而 2111F(x)=(),()()2(1)arctg x p x F x x ππ'+=+ 3、9已知崔机变量ζ的分布函数为≤⎧⎪≤⎨⎪⎩x 0<x 1p(x)=2-x 1<x 20 其他（1） 求相应的分布函数F(x);（2） 求(0.5), ( 1.3), (0.2 1.2)p p p ζζζ<><< 解:x2012010 x 01 1<x 22()1(2)2 1 1<x 221 x>2x ydy x F x ydy y dy x x ≤⎧⎪⎪=≤⎪=⎨⎪+-=--≤⎪⎪⎩⎰⎰⎰1(0.5)(0.5),8( 1.3)1( 1.3)1(1.3)0.245,(0.2 1.2)(1.2)(0.2)0.66P F P P F P F F ζζζζ<==>=-≤=-=<<=-=3、10确定下列函数仲的常数A,使该函数成为一元分布的密度函数。

(1)();xp x Ae-=(2)cos ()220 A x x p x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他(3)2 12() 2<x<30 Ax x p x Ax ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他解:(1)221xx Aedx A e dx A ∞∞--∞===⎰⎰－,所以12A =; (2)2202cos 2cos 21A xdx A xdx A πππ-===⎰⎰,所以12A =;(3)282122916Ax dx Axdx A +==⎰⎰,所以 629A =。

3、11在△ABC 中任取一点P,P 到AB 的距离为δ,求δ的分布函数、 解:作△ABC 的高CD,设CD=h 。

当0≤x ≤h 时,作EF ∥AB,椒EF 与AB 间距离为x 。

当0≤x ≤h 时 F(x)=P(δ＜x)=ABC EFBA S S ∆∆ =1－ABC CEF S S ∆∆=1－2)(hx h -,因此F(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤⎪⎭⎫⎝⎛--<hx h x x x h x 1010023、12在半径为R,球心为O 的球内任去一点P,求.的分布函数OP =δ 解:当0≤x ≤R 时F(x)=P(δ<x)=333434R x ππ=3⎪⎭⎫⎝⎛R x ,所以 F(x)= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤⎪⎭⎫⎝⎛<Rx R x R x x 100033、13某城市每天用电量不超过一百万度,一δ表示每天的耗电率(即用电量除以一百万度),它具有分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他010)1(12)(2x x x x ρ若该城市每天的供电量仅有80万度,求供电量不够需要的概率就是多少?如每天供电量为90万度又就是怎样呢? 解:⎰⎰=-=>=-=>.0037.0)1(12)9.0(,0272.0)1(12)8.0(219.0218.0dx x x P dx x x P δδ因此,若该城市每天的供电量为80万度,供电量不够需要的概率为0、0272,若每天的供电量为90万度,则供电量不够需要的概率为0、0037、 3、14设随机变量δ服从(0,5)上的均匀分布,求方程02442=+++δδx x有实根的概率、 解:当且仅当0)2(16)4(≥+-δδ (1)成立时,方程02442=+++δδx x 有实根、不等式(1)的解为:δ该方程有实根的概率因此或,.12-≤≥δ ⎰==≥+-≤+≥=.5351)2()1()2(52dx P P P δδδρ 3、15设随机变量δ服从正态分布N(0,1),求 (1)();04.085.1)2();33.202.0(<<-<<δδP P (3)()21.180.2-<<-δ解:)02.0()33.2()33.202.0()1(Φ-Φ=<<δP ;4821.00080.04901.0=-≈ (2))85.1()04.0()04.085.1(-Φ-Φ=<<-δP[])85.1(1)04.0(Φ--Φ= )0976781(5160.0--≈ =0、4838;[])80.2(1)21.1(1)80.2()21.1()21.180.2()3(Φ--Φ-=-Φ--Φ=-<<-δP1105.08869.09974.0)21.1()80.2(=-≈Φ-Φ= 3、16设随机变量ξ服从正态分布N(108,9), (1)求P(101、1<ξ<117、6);(2 ) 求常数α,使P(ξ<α)=0、90;(3 ) 求常数α,使P(｜ξ-α｜>α)=0、01。

解: (1) P(101、1<ξ<117、6) = P )2.331083.2(<-<-ζ[])3.2(1)2.3()3.2()2.3(Φ--Φ=-Φ-Φ=;988589.0989276.01999313.0=+-≈(2) ();84.111,28.13108,.90.031083108=≈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=<a a a P a P 即所以ξζ()()()()()(),01.0310821363108310823108023=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=<+>=-<-+>-=>-a P a P P a P a a P a a P a a P ξξξξξξξ5.5733.231082,99.031082=≈-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φa a a 即查表得所以()()()()()75.57,65.135,95.035,9.0135235353535300352;9236.043.143.135300)43.135300(250)1(:9.0,)2(;250)1()(35),(300,,17.32≥≥≥⎪⎭⎫⎝⎛Φ≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫⎝⎛<-<-=+<<-≈Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=->-=>+-==x x x x x x x x P x a x a P P P P x a x a x a a N 即所以即解之间的概率不小于与使寿命在求小时以上的概率求电池寿命在小时小时其中分布服从正态某种电池的寿命ξξξξξσσξ()()()()()22222222222232222222342233.180,1,01111:1111113,1111x x y y xxx y xx y xx x x N x x x x x x edy edye dyx y e e dy x x y x x x x -----∞∞--∞∞---Φ>⎛⎫•>-Φ>- ⎪⎝⎭-Φ===•⎛⎫- ⎪⎝⎭•>-Φ>-⎰设为分布的分布函数证明当有证所以⎛⎫⎪⎝⎭()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0,5;,,4;,,0,,,3;,,0,,,2;,,,,,1,5;,4;,3;,2;,1:,,,193=+∞<-∞<-+∞=+∞<<-+=<<-<≤=<=-+=<<-<≤=≤≤≤+--=<≤<≤+∞<-∞<+∞<<<=≤≤≤<≤<≤ηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξξP x F x F x P y a F y a F y a P y a P y a P y a F y b F y a P y b P y b a P c a F d a F c b F d b F d c b a P ：P x P y a P y b a P d c b a P y x F y x F ，。