《概率论与数理统计》习题及答案第 三 章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L ， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

解 (0)P X P ==(第一个路口即为红灯)12=, (1)P X P ==(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)111224=⋅=， 依此类推，得X 的分布列为012311112488XP. 5．将一枚硬币连掷n 次，以X 表示这n 次中出现正面的次数，求X 的分布列。

解 X 为n 重贝努里试验中成功出现的次数，故1~(,)2X B n ，X 的分布列为1()2nk nP X k C ⎛⎫== ⎪⎝⎭0,1,,k n =L6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。

解 设X 为每分钟接到的呼叫次数，则~(4)X P（1）84448444(8)0.29778!!!k k k k q P X e e e k k ∞∞---=====-=∑∑（2）4114(10)0.00284.!k k P X e k ∞-=>==∑ 7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为以上。

解 设X 为该商品的销售量，N 为库存量，由题意51150.99977()1()1()1!k K N K N P X N P X N P X K e k ∞∞-=+=+≤≤=->=-==-∑∑即5150.00023!K K N e k ∞-=+≤∑ 查泊松分布表知115N +=，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在以上。

8．已知离散型随机变量X 的分布列为：(1)0.2,(2)0.3P X P X ====，(3)0.5P X ==，试写出X 的分布函数。

解 X 的分布列为1230.20.30.5XP所以X 的分布函数为0,1,0.2,12,()0.5,23,1,3.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩9．设随机变量X 的概率密度为 sin ,0,()0,c x x f x π<<⎧=⎨⎩其他.求：（1）常数C ；（2）使()()P X a P X a >=<成立的a . 解 （1）001()sin cos 2f x dx c xdx c x c ππ+∞-∞===-=⎰⎰，12c =； （2）1111()sin cos cos 2222aa P X a xdx x a ππ>==-=+⎰， 001111()sin cos cos ,2222a aP X a xdx x a <==-=-⎰可见 cos 0a =， 2a π∴=。

10．设随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x =+，x -∞<+∞，求：（1）系数A 与B ；（2）(11)P X -<≤；（3）X 的概率密度。

解 （1）由分布函数的性质0()21()2F A B F A B ππ⎧=-∞=-⋅⎪⎪⎨⎪=+∞=+⋅⎪⎩于是 12A =，1B π=，所以X 的分布函数为11()arctan 2F x x π=+ x -∞<<+∞，（2）11111(11)(1)(1)()24242P X F F ππππ-<≤=--=+⋅--⋅=；（3）X 的概率密度为21()()(1)f x F x x π'==+， x -∞<<+∞. 11．已知随机变量X 的概率密度为||1()2x f x e -=，x -∞<<+∞.求X 的分布函数. 解001,0,2()()11,0,22x ux x x u e du x F x f u du e dx e du x -∞-∞--∞⎧≤⎪⎪==⎨⎪+>⎪⎩⎰⎰⎰⎰1,0,211,0.2xx e x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩12．设随机变量X 的概率密度为,01,()2,12,0,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他.求X 的分布函数.解 ()f x 的图形为 X 的分布函数为()()x F x f u du -∞=⎰1010,0,,01,(2),12,1,2.xxx udu x xdx u du x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+-≤<⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰220,0,,01,221,12,21,2.x x x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩ 13．设电子管寿命X 的概率密度为2100,100,()0,100.x xf x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y 的分布列；（3）Y 的分布函数。

解 Y 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，~(3,)Y B p ，其中 15021001001(150)3p P X dx x =≤==⎰， （1）所求概率为2323121(2)(2)(3)333P Y P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫≥==+==⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭727=；（2）Y 的分布列为3312()33k kk P Y k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,k =即01238126127272727YP.（3）Y 的分布函数为0,0,8,012720(),12,2726,23,271,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 14．设随机变量X 的概率密度为 2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行n 次独立重复观测，以n V 表示观测值不大于的观测次数，试求随机变量n V 的概率分布。

解 ~(,)n V B n p ，其中 0.10(0.1)20.01p P X xdx =≤==⎰，所以n V 的概率分布列为()(0.01)(0.99),0,1,,k k n kn n P V k C k n -===L .15．设随机变量~[1,6]X U ，求方程210x Xx ++=有实根的概率. 解 设A =‘方程有实根’，则A 发生240X ⇔-≥ 即 ||2X ≥，因~[1,6]X U ，所以 A 发生2,X ⇔> 所以624()(2)0.8615P A P X -=>===-. 16．设随机变量~[2,5]X U ，现对X 进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.解 设Y 为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则~(3,)Y B p ，其中 532(3)523p P X -=>==-， 所求概率为232321220(2)(2)(3)33327P Y P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.17．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：分），服从参数为15的指数分布。

若等待时间超过10分钟，则他就离开。

设他一个月内要来银行5次，以Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布列及(1)P Y ≥。

解 由题意~(5,)Y B p ，其中 25510101(10)5x xp P X e dx e e +∞--+∞-=>==-=⎰， 于是Y 的分布为2255()()(1)0,1,2,3,4,5,k k kP Y k C e e k ---==-=25(1)1(0)1(1)0.5167P Y P Y e -≥=-==--≈.18．一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布。

（1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。

解 （1）设T 的分布函数为()T F t ，则 ()()1()T F t P T t P T t =≤=->事件()T t >表示两次故障的间隔时间超过t ，也就是说在时间t 内没有发生故障，故()0N t =，于是0()()1()1(()0)11,00!tt T t F t P T t P N t e e t λλλ--=->=-==-=->，可见，T 的分布函数为1,0,()0,0.t T e t F t t λ-⎧->=⎨≤⎩即T 服从参数为λ的指数分布。