１．根式（１）n次方根的概念１若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞１且n∈N*.式子错误!叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．２a的n次方根的表示x n＝a⇒（２）根式的性质１（错误!）n＝a（n∈N*，n＞１）．２错误!＝错误!２．有理数指数幂（１）幂的有关概念３0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．（２）有理数指数幂的运算性质１a r a s＝a r＋s（a＞0，r，s∈Q）；２（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）；３（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．３．指数函数的图象与性质y＝a x a＞１0＜a＜１图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点（0,１）当x＞0时，y＞１；当x＜0时，0＜y＜１当x＞0时，0＜y＜１；当x＜0时，y＞１在R上是增函数在R上是减函数错误!１．指数函数图象的画法画指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0,１），错误!.２．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数（１）y＝a x，（２）y＝b x，（３）y＝c x，（４）y＝d x的图象，底数a，b，c，d与１之间的大小关系为c＞d＞１＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x（a ＞0，a≠１）的图象越高，底数越大．３．指数函数y＝a x（a＞0，a≠１）的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞１与0＜a ＜１来研究．[答案]（１）×（２）×（３）×（４）×二、教材改编１．函数f（x）＝２１—x的大致图象为（）A B C DA[f（x）＝２１—x＝错误!错误!，又f（0）＝２，f（１）＝１，故排除B，C，D，故选Ａ．]２．若函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点P错误!，则f（—１）＝________.错误![由题意知错误!＝a２，所以a＝错误!，所以f（x）＝错误!错误!，所以f（—１）＝错误!错误!＝错误!.]３．化简错误!（x＜0，y＜0）＝________.[答案] —２x２y４．已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则a，b，c的大小关系是________．c＜b＜a[∵y＝错误!错误!是减函数，∴错误!错误!＞错误!错误!＞错误!错误!，则a＞b＞１，又c＝错误!错误!＜错误!错误!＝１，∴c＜b＜a.]考点１指数幂的运算指数幂运算的一般原则（１）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．（２）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．（３）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．（４）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．考点２指数函数的图象及应用（１）与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．（２）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．（１）函数f（x）＝a x—b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）Ａ．a＞１，b＜0Ｂ．a＞１，b＞0Ｃ．0＜a＜１，b＞0Ｄ．0＜a＜１，b＜0（２）若曲线y＝|３x—１|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．（１）D（２）（0,１）[（１）由f（x）＝a x—b的图象可以观察出，函数f（x）＝a x—b在定义域上单调递减，所以0＜a＜１．函数f（x）＝a x—b的图象是在f（x）＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0．故选Ｄ．（２）曲线y＝|３x—１|的图象是由函数y＝３x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|３x—１|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是（0,１）．][母题探究]１．（变条件）若本例（２）条件变为：方程３|x|—１＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．（0，＋∞）[作出函数y＝３|x|—１与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是（0，＋∞）．]２．（变条件）若本例（２）的条件变为：函数y＝|３x—１|＋m的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________．（—∞，—１] [作出函数y＝|３x—１|＋m的图象如图所示．由图象知m≤—１，即m∈（—∞，—１]．]应用指数函数图象的技巧（１）画指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0,１），错误!.（２）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．（３）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到．特别地，当底数a与１的大小关系不确定时应注意分类讨论．１．函数f（x）＝１—e|x|的图象大致是（）A BC DA[f（x）＝１—e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥１，∴f（x）≤0，符合条件的图象只有Ａ．]２．函数y＝a x—b（a＞0，且a≠１）的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围是________．（0,１）[因为函数y＝a x—b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝a x—b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0—b＝１—b，由题意得错误!解得错误!故a b∈（0,１）．]３．已知实数a，b满足等式２0１9a＝２0２0b，下列五个关系式：１0＜b＜a；２a＜b＜0；３0＜a＜b；４b＜a＜0；５a＝b.其中不可能成立的关系式有________（填序号）．３４[作出y＝２0１9x及y＝２0２0x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有２0１9a＝２0２0b，故３４不可能成立．]考点３指数函数的性质及应用指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜１和a＞１进行分类讨论．比较指数式的大小（１）已知a＝２0．２，b＝0．４0．２，c＝0．４0．6，则（）Ａ．a＞b＞cＢ．a＞c＞bＣ．c＞a＞bＤ．b＞c＞a（２）设函数f（x）＝x２—a与g（x）＝a x（a＞１且a≠２）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，则M＝（a—１）0．２与N＝错误!错误!的大小关系是（）Ａ．M＝NＢ．M≤NＣ．M＜NＤ．M＞N（１）A（２）D[（１）由0．２＜0．6,0．４＜１，并结合指数函数的图象可知0．４0．２＞0．４0．6，即b＞c.因为a＝２0．２＞１，b＝0．４0．２＜１，所以a＞b.综上，a＞b＞c.（２）因为f（x）＝x２—a与g（x）＝a x（a＞１且a≠２）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，所以a＞２，所以M＝（a—１）0．２＞１，N＝错误!0．１＜１，所以M＞N.故选Ｄ．]指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是（0,１）还是（１，＋∞），若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例（１）．解简单的指数方程或不等式（１）已知函数f（x）＝a＋错误!的图象过点错误!，若—错误!≤f（x）≤0，则实数x的取值范围是________．（２）方程４x＋|１—２x|＝１１的解为________．（１）错误!（２）x＝log２３[（１）∵f（x）＝a＋错误!的图象过点错误!，∴a＋错误!＝—错误!，即a＝—错误!.∴f（x）＝—错误!＋错误!.∵—错误!≤f（x）≤0，∴—错误!≤错误!—错误!≤0，∴错误!≤错误!≤错误!，∴２≤４x＋１≤３，即１≤４x≤２，∴0≤x≤错误!.（２）当x≥0时，原方程化为４x＋２x—１２＝0，即（２x）２＋２x—１２＝0．∴（２x—３）（２x＋４）＝0，∴２x＝３，即x＝log２３．当x＜0时，原方程化为４x—２x—１0＝0．令t＝２x，则t２—t—１0＝0（0＜t＜１）．由求根公式得t＝错误!均不符合题意，故x＜0时，方程无解．]（１）a f（x）＝a g（x）⇔f（x）＝g（x）．（２）a f（x）＞a g（x），当a＞１时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜１时，等价于f（x）＜g（x）．（３）有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题．与指数函数有关的复合函数的单调性（１）函数f（x）＝的单调减区间为________．（２）函数f（x）＝４x—２x＋１的单调增区间是________．（１）（—∞，１] （２）[0，＋∞）[（１）设u＝—x２＋２x＋１，∵y＝错误!错误!在R上为减函数，所以函数f（x）＝的减区间即为函数u＝—x２＋２x＋１的增区间．又u＝—x２＋２x＋１的增区间为（—∞，１]，所以f（x）的减区间为（—∞，１]．（２）设t＝２x（t＞0），则y＝t２—２t的单调增区间为[１，＋∞），令２x≥１，得x≥0，又y＝２x 在R上单调递增，所以函数f（x）＝４x—２x＋１的单调增区间是[0，＋∞）．][逆向问题] 已知函数f（x）＝２|２x—m|（m为常数），若f（x）在区间[２，＋∞）上单调递增，则m的取值范围是________．（—∞，４] [令t＝|２x—m|，则t＝|２x—m|在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减．而y＝２t在R上单调递增，所以要使函数f（x）＝２|２x—m|在[２，＋∞）上单调递增，则有错误!≤２，即m≤４，所以m的取值范围是（—∞，４]．]求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．指数函数性质的综合应用（１）函数f（x）＝a＋错误!（a，b∈R）是奇函数，且图象经过点错误!，则函数f（x）的值域为（）Ａ．（—１,１）Ｂ．（—２,２）Ｃ．（—３,３）Ｄ．（—４,４）（２）若不等式１＋２x＋４x·a＞0在x∈（—∞，１]时恒成立，则实数a的取值范围是________．（１）A（２）错误![（１）函数f（x）为奇函数，定义域是R，则f（0）＝a＋错误!＝0１，函数图象过点错误!，则f（ln ３）＝a＋错误!＝错误!２．结合１２可得a＝１，b＝—２，则f（x）＝１—错误!.因为e x＞0，所以e x＋１＞１，所以0＜错误!＜２，所以—１＜１—错误!＜１，即函数f（x）的值域为（—１,１）．（２）从已知不等式中分离出实数a，得a＞—错误!.因为函数y＝错误!错误!和y＝错误!x在R上都是减函数，所以当x∈（—∞，１]时，错误!错误!≥错误!，错误!错误!≥错误!，所以错误!错误!＋错误!错误!≥错误!＋错误!＝错误!，从而得—错误!≤—错误!.故实数a的取值范围为a＞—错误!.]指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化．１．函数y＝的值域是（）Ａ．（—∞，４）Ｂ．（0，＋∞）Ｃ．（0,４] Ｄ．[４，＋∞）C[设t＝x２＋２x—１，则y＝错误!错误!.因为0＜错误!＜１，所以y＝错误!错误!为关于t的减函数．因为t＝（x＋１）２—２≥—２，所以0＜y＝错误!错误!≤错误!错误!＝４，故所求函数的值域为（0,４]．]２．已知实数a≠１，函数f（x）＝错误!若f（１—a）＝f（a—１），则a的值为________．错误![当a＜１时，４１—a＝２１，所以a＝错误!；当a＞１时，代入可知不成立，所以a的值为错误!.]３．设函数f（x）＝错误!若f（a）＜１，则实数a的取值范围是________．（—３,１）[当a＜0时，不等式f（a）＜１可化为错误!错误!—7＜１，即错误!错误!＜8，即错误!错误!＜错误!错误!，∴a＞—３．又a＜0，∴—３＜a＜0．当a≥0时，不等式f（a）＜１可化为错误!＜１．∴0≤a＜１，综上，a的取值范围为（—３,１）．]。