圆的证明与计算1.如图，已知△ABC 内接于⊙O ， P 是圆外一点，PA 为⊙O 的切线，且PA ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D .（1）求证：PB 为⊙O 的切线；（2）若PA ＝PO ，⊙O 的半径为10，求线段 PD 的长.45第1题图(1)证明：如解图，连接OA 、OB ，第1题解图∵PA ＝PB ，OA ＝OB ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OBP (SSS)，∴∠OAP ＝∠OBP ，∵PA 为⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∴∠OBP ＝90°，∵OB 为⊙O 的半径，∴PB 为⊙O 的切线；(2)解：∵PA ＝PO ，⊙O 的半径为10，45∴在Rt △AOP 中，OA ＝＝10，PO 2－（45PO ）2解得PO ＝，503∴cos ∠AOP ＝＝，AO OP OD AO∴OD ＝6，∴PD ＝PO －OD ＝.3232. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，且AD ＝DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连接DE .（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若cos C ＝，AC ＝24，求直径AE 的长.35第2题图(1)证明：∵AB ＝AC ，AD ＝DC ，∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ，∴∠DAC ＝∠B ，又∵∠E ＝∠B ，∴∠DAC ＝∠E ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE ＝90°，∴∠E ＋∠EAD ＝90°，∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°，即∠EAC ＝90°，∴AE ⊥AC ，∵OA 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F，第2题解图∵DA ＝DC ，∴CF ＝AC ＝12，12在Rt △CDF 中，∵cos C ＝＝，CF CD 35∴DC ＝20，∴AD ＝20，在Rt △CDF 中，由勾股定理得，1622==CF CD DF －∵∠ADE ＝∠DFC ＝90°，∠E ＝∠C ，∴△ADE ∽△DFC ，∴＝，AE DC AD DF即＝，解得AE ＝25，AE 201620即⊙O 的直径AE 为25.3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线EF ，交BC 于点F ．（1）求证：EF ⊥BC ；（2）若CD =2，tan C =2，求⊙O的半径．第3题图（1）证明：如解图，连接BE，OE．第3题解图∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．∵AB=BC，∴点E是AC的中点，∵点O是AB的中点，∴OE∥BC，∵EF是⊙O的切线，∴EF⊥OE．∴EF⊥BC；（2）解：如解图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，AD∵CD=2，tan C=2，CD∴AD=4．设AB =x ，则BD =x －2．在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2=AD 2+BD 2，即x 2=42+（x －2）2，解得x =5，即AB =5，∴⊙O 的半径为．254.如图，已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线交OC 的延长线于点D ，交BC 的延长线于点E .（1）求证：∠DAC ＝∠DCE ；（2）若AB ＝2， sin D ＝，求AE 的长.13第4题图(1)证明：∵AD 是⊙O 的切线，∴∠DAB ＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠DAC ＋∠CAB ＝90°，∠CAB ＋∠ABC ＝90°，∴∠DAC ＝∠ABC .∵OC ＝OB ，∴∠ABC ＝∠OCB ，又∵∠DCE ＝∠OCB ，∴∠DAC ＝∠DCE ；(2)解：∵AB ＝2，∴AO ＝1.∵sin D ＝＝，AO OD 13∴OD ＝3，DC ＝2，在Rt △DAO 中，由勾股定理得AD ＝＝2，OD 2－OA 22∵∠DAC ＝∠DCE ，∠D ＝∠D ，∴△DEC ∽△DCA ，∴＝，DC DA DE DC即＝，222DE 2解得DE ＝，2∴AE ＝AD －DE ＝.25.如图，AB 是⊙O 的弦，D 为半径OA 的中点，过点D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于点F ，且BC 是⊙O 的切线.（1）求证：CE ＝CB ；（2）连接AF ，BF ，求∠ABF 的度数；（3）若CD ＝15， BE ＝10，＝，求⊙O 的半径.DE AE 513第5题图(1)证明：如解图，连接OB ，第5题解图∵BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ，即∠OBC ＝90°，∴∠OBA ＋∠CBE ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∴∠OAB+∠CBE ＝90°，又∵CD ⊥OA ，∴∠OAB ＋∠DEA ＝90°，又∵∠CEB ＝∠DEA ，∴∠CBE ＝∠CEB ，∴CE ＝CB ；(2)解：如解图，连接OF ，∵DA ＝DO ，CD ⊥OA ，∴AF ＝OF ，又∵OA ＝OF ，∴△AOF 是等边三角形，∴∠AOF =60°，∴∠ABF ＝∠AOF ＝30°；12(3)解：如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵CD ⊥OA ，∴∠ADE ＝∠CGE ＝90°，又∵∠AED ＝∠CEG ，∴△ADE ∽△CGE ，∴＝＝，DE AE EG CE 513∵CE ＝BC ，∴BG ＝EG ＝BE ＝5，12∴CE ＝13，∴DE ＝CD －CE ＝2，∴AE ＝，265∴在Rt △ADE 中，由勾股定理得AD ＝，22DE AE -=245∴OA ＝2AD ＝，485∴⊙O 的半径为.4856.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DC ，分别延长BA ，CD 交于点E ，作BF ⊥EC ，交EC 的延长线交于点F ，连接BD .（1）求证：△BFC ∽△BDA ；（2）若AE ＝AO ，求cos ∠ADE ；（3）在（2）的条件下，若BC ＝6，求BF 的长.第6题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BDA ＝90°.∵BF ⊥EC ，∴∠BFC ＝90°，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCF ＝∠BAD ，∴△BFC ∽△BDA ；(2)解：如解图，连接OD ，AC ，第6题解图∵△BFC ∽△BDA ，∴＝，BF BD BC AB∵OD 是⊙O 的半径，AD ＝CD ，∴OD 垂直平分AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴OD ∥BC ，∴△EOD ∽△EBC ，∴＝，OE BE OD BC∵AE ＝AO ，即OE ＝2OB ，BE ＝3OB ，∴＝，OD BC BE OE 23∴BC ＝OD ，32∴＝＝＝，BF BD BC AB 32OD 2OD 34∵∠ADB ＝90°，∴∠ADE ＋∠BDF ＝90°，∵∠BDF ＋∠DBF ＝90°，∴∠ADE ＝∠DBF ，在Rt △BDF 中，cos ∠DBF ＝＝，BF BD 34∴cos ∠ADE ＝；34(3)解：∵BC ＝OD ，BC ＝6，32∴OD ＝4，∴AE ＝4，BE ＝12，∵△EOD ∽△EBC ，∴＝，DE CE OD BC ∴CE ＝DE ，32又∵∠EDA ＝∠EBC ，∠E ＝∠E ，∴△AED ∽△CEB ，∴＝，AE CE DE BE ∴DE ·CE ＝AE ·BE ，∴DE ·DE ＝4×12，32∴DE ＝4(负值舍去)，2∴CD ＝2，∴AD ＝2，22∵△BFC ∽△BDA ，∴＝，∴＝，CF BC ADAB CF 6228∴CF ＝，322在Rt △BCF 中，根据勾股定理得，BF ＝＝.BC 2－CF 231427.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC ，过上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连A BD 接AE 交CD 于点F ，且EG =FG ，连接CE ．（1）求证：△ECF ∽△GCE ；（2）求证：EG是⊙O的切线；3（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G=，AH=3，4求EM的值．第7题图（1）证明：∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，A AD A AC∴=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE；（2）证明：如解图，连接OE，第7题解图∵GF=GE，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∵∠AFH +∠FAH =90°，∴∠GEF +∠AEO =90°，∴∠GEO =90°，∴GE ⊥OE ，∵OE 是⊙O 的半径，∴EG 是⊙O 的切线；（3）解：如解图，连接OC ，设⊙O 的半径为r ．在Rt △AHC 中，tan ∠ACH =tan ∠G ==，HC AH 43∵AH =3，∴HC =4．在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r －3，HC =4，∴（r －3）2+42=r 2，解得r =，625∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ，∴△AHC ∽△MEO ，∴，OEHC EM AH =即，62543=EM ∴．825=EM 8．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上两点，过点C 的直线CD ⊥BG 交BG 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ，且BC 平分∠ABD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若，求∠E 的度数；32=FD OF （3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD =2，求AD 的长．3第8题图（1）证明：如解图，连接OC ，第8题解图∵OC =OB ，BC 平分∠ABD ，∴∠OCB =∠OBC ，∠OBC =∠DBC ，∴∠DBC =∠OCB ，∴OC ∥BD ，∴∠BDC =∠ECO ，∵CD ⊥BD ，∴∠BDC =90°，∴∠ECO =90°，∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：由（1）知，OC ∥BD ，∴∠OCF =∠DBF ，∠COF =∠BDF ，∴△OCF ∽△DBF ，∴，DB OC FD OF =∵，32=FD OF ∴，32=DB OC ∵OC ∥BD ，∴△EOC ∽△EBD ，∴，EB EO BD OC =∴，32=EB EO 设OE =2a ，则EB =3a ，∴OB =a ，∴OC =a ，∵∠OCE =90°，OC =OE ，21∴∠E =30°；（3）解：∵∠E =30°，∠BDE =90°，∴∠EBD =60°，∵BC 平分∠DBE ，∴∠OBC =∠DBC ==30°，EBD ∠21∵CD =2，3∴BC =4，BD =6，3∵，32=DB OC ∴OC =4，如解图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，∴∠DMB =90°，∵BD =6，∠DBM =60°，∴BM =3，DM =3，3∵OC =4，∴AB =8，∴AM =AB －BM =5，∵∠DMA =90°，DM =3，3∴AD =．13222=+AM DM 9．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相交于点D ，与AB 交于点E ，AD 平分∠FAB ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）求证：AE =AF ；（3）若DE =3，sin ∠BDE =，求AC 的长．31第9题图（1）证明：如解图，连接OD ．第9题解图∵AD 平分∠FAB ，∴∠CAD =∠DAB ，∵OA =OD ，∴∠DAB =∠ODA ，∴∠CAD =∠ODA ，∴AC∥OD，∴∠ODB=∠ACB=90°，∴OD⊥BC，∵OD为⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线；（2）证明：由（1）知OD∥AC，∴∠ODE=∠F．∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠OED=∠F．∴AE=AF；（3）解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°．∴∠DAF+∠F=90°，∵AE=AF，∴DF=DE=3．∵∠ACB=90°，∴∠CDF+∠F=90°，∴∠DAF=∠CDF=∠BDE．在Rt△ADF中，，31sin sin =∠=∠=BDE DAF AF DF ∴AF =3DF =9．在Rt △CDF 中，，31sin sin =∠=∠=BDE CDF DF CF ∴．131==DF CF ∴AC =AF －CF =8．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．（1）求证：DH 是⊙O 的切线；（2）若AE=AH ，求的值；EF FD （3）若EA =EF =1，求⊙O 的半径．第10题图（1）证明：如解图，连接OD ，第10题解图∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠ODB =∠ACB ，∴OD ∥AC ，∵DH ⊥AC ，∴DH ⊥OD ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DH 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠E =∠B ，AB =AC ，∴∠E =∠B =∠C ，∴ED =DC ，∵DH ⊥EC ，∴EH =CH ，∵AE =AH ，∴AE =AC ，31∵AO =BO ，OD ∥AC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD =AC ，21∴，23 AE OD ∵AE ∥OD ，∴△AEF ∽△ODF ，∴；23==AE OD EF FD （3）解：设⊙O 的半径为r ，即OD =OB =r ，∵EF =EA ，∴∠EFA =∠EAF ，∵OD ∥EC ，∴∠FOD =∠EAF ，则∠FOD =∠EAF =∠EFA =∠OFD ，∴DF =OD =r ，∴DE =DF +EF =r +1，∴BD =CD =DE =r +1，在⊙O 中，∵∠BDE =∠EAB ，∴∠BFD =∠EFA =∠EAB =∠BDE ，∴BF =BD =r +1，∴AF =AB －BF =2OB －BF =2r －（1+r ）=r －1，∵∠BFD =∠EFA ，∠B =∠E ，∴△BFD ∽△EFA ，∴，FD BF FA EF =∴，rr r 111+=-解得r =（负值已舍），251+51∴⊙O的半径为．2。