二轮专题提升专题提升(一) 综合型问题1．[2012·荆门]如图Z－1－5，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD 上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为(C)图Z－1－5A．2B．2 3C. 3 D．3【解析】∵△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠QBF＝30°.∵BF＝2，FQ⊥BP，∴BQ＝BF·cos30°＝2×32＝ 3.∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2 3.在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，∴PE＝12BP＝ 3.故选C.2．[2010·黄冈]已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形的面积是12，则k的值为(A)A．1或－2 B．2或－1C ．3D ．4【解析】 依题意过(0，－3)的直线y ＝kx －3与y ＝－1，y ＝3，x ＝1所围的四边形有两种情况．分别求出各顶点的坐标(含k )，利用面积等于12分别求出k ＝1或－2.选A.3．[2012·嘉兴]如图Z －1－6，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC .点D 是AB 的中点，连结CD ，过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF .给出以下四个结论：①AGAB＝FG FB ；②点F 是GE 的中点；③AF ＝23AB ；④S △ABC ＝5S △BDF ，其中正确结论的序号是 ①③ ．图Z －1－6【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC .∵AG ⊥AB ，∴AG ∥BC ， ∴△AFG ∽△CFB ， ∴AG CB ＝FG FB .∵BA ＝BC ，∴ AG AB ＝FGFB ， 故①正确；∵∠ABC ＝90°，BG ⊥CD ，∴∠DBE ＋∠BDE ＝∠BDE ＋∠BCD ＝90°，∴∠DBE＝∠BCD.∵AB＝CB，点D是AB的中点，∴BD＝12AB＝12CB，∴tan∠BCD＝BDBC＝12，∴在Rt△ABG中，tan∠ABG＝AGAB＝12.∵AGAB＝FGFB，∴FG＝12FB，故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF∶CF＝AG∶BC＝1∶2，∴AF＝13AC.∵AC＝2AB，∴AF＝23AB，故③正确；∵BD＝12AB，AF＝13AC，∴S△ABC＝6S△BDF，故④错误．故答案为①③.4．[2011·芜湖]如图Z－1－7，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y＝kx经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(4－22)的圆内切于△ABC，则k的值为__4__．图Z－1－7【解析】设圆心为I，正方形对角线交点为P，则PC＝PI＋IC＝4－22＋2 (4－22)＝22，∴BC＝4＝OB，∴P点坐标为(2，2)．∵点P在y＝kx上，∴k＝22＝4.5．[2011·南通]如图Z－1－8，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y＝33x相切，设半圆C1，半圆C2，半圆C3的半径分别是r1，r2，r3，则当r1＝1时，r3＝__9__．图Z－1－8【解析】依题意直线y＝33x与x轴的夹角为30°，分别过C1，C2，C3作过切点的半径，交直线y＝33x于P1，P2，P3.又过C1作C1B⊥C2P2于B，则C1C2＝1＋r2，C2B＝r2－1，则1＋r2＝2(r2－1)，r2＝3，同理得3＋r3＝2(r3－3)，r3＝9.6．[2011·金华]如图Z－1－9，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A，B和C，D，连结OA，此时有OA∥PE.(1)求证：AP＝AO；(2)若AB＝12，求tan∠OPB的值；(3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为________，能构成等腰梯形的四个点为________或________或________．图Z－1－9【解析】(1)证∠APO＝∠POA；(2)作OH⊥AB于H，由垂径定理求OH，又∵P A＝AO，∴PH＝AO＋AH，计算tan∠OPB＝OHPH就容易了；(3)由OA∥PE知OC∥PF，从而寻找菱形和等腰梯形．解：(1) 证明：∵PG平分∠EPF，第6题答图∴∠DPO＝∠BPO.∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.(2) 过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝HB＝12AB＝6.又∵OA＝10，∴OH＝OA2－AH2＝8. 又∵PH＝P A＋AH＝AO＋AH＝16，∴tan ∠OPB＝OHPH＝816＝12.(3)P，A，O，C A，B，D，C P，A，O，D P，C，O，B 7．[2012·荆门]荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图Z －1－10所示．(1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y (元)与进货量x (千克)之间的函数关系式；(2)若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%，95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？图Z －1－10解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧26x （20≤x ≤40），24x （x >40）.(2)设该经销商购进乌鱼x 千克，则购进草鱼(75－x )千克，所需进货费用为w 元．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x >40，89%×（75－x ）＋95%x ≥93%×75，解得x ≥50.由题意得w ＝8(75－x )＋24x ＝16x ＋600. ∵16＞0，∴w 的值随x 值的增大而增大． ∴当x ＝50时，75－x ＝25，w 最小＝1 400(元)．答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1 400元．8．[2012·恩施]如图Z－1－11，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB.图Z－1－11(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连结AF，BF，求∠ABF的度数；(3)如果CD＝15，BE＝10，sin A＝513，求⊙O的半径．解：(1)证明：连结OB.∵OB＝OA，CE＝CB，∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC.又∵CD⊥OA,∴∠A＋∠AED＝∠A＋∠CEB＝90°，∴∠OBA＋∠ABC＝90°，∴OB⊥BC.∴BC是⊙O的切线．(2)连结OF，∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，又OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF＝60°.∴∠ABF＝12∠AOF＝30°.(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE＝CB，∴EG＝12BE＝5.又Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin ∠ECG ＝EG CE ＝sin A ＝513， ∴CE ＝EG sin ∠ECG＝13，∴CG ＝CE 2－EG 2＝12.又CD ＝15，CE ＝13，∴DE ＝2. 由Rt △ADE ∽Rt △CGE ，得AD CG ＝DEGE ， ∴AD ＝DE GE ·CG ＝245，∴⊙O 的半径为2AD ＝485.9．[2012·兰州]若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A ，B 两个交点间的距离为： AB ＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4c a＝b 2－4ac a 2＝b 2－4ac |a |.参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形． (1)当△ABC 为等腰直角三角形时，求b 2－4ac 的值；(2)当△ABC 为等边三角形时，求b 2－4ac 的值．图Z －1－12解：(1)当△ABC 为等腰直角三角形时，过C 作CD ⊥AB ，，则AB ＝2CD . ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴Δ＝b 2－4ac >0，则 ||b 2－4ac ＝b 2－4ac ，∴AB ＝b 2－4ac||a ＝b 2－4aca.又∵CD ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4ac －b 24a ＝b 2－4ac4a ，第9题答图∴b 2－4ac a ＝b 2－4ac2a ，∴b 2－4ac ＝（b 2－4ac ）24.∵b2－4ac>0，∴b2－4ac＝4.(2)当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CD＝32AB，∴b2－4ac4a＝32×b2－4aca.∵b2－4ac>0，∴b2－4ac＝12.。