复数在进行除运算时应采用指数式或极坐标式，
例如: iIm sin t
t=0时， i0 0
i
iIm si n t ()
i0Imsi n不等于零
i i0
0
t
0
t
(t+)称为正弦量的相位角或相位。它反映出正弦量变化 的进程。
t=0时的相位角 称为初相位角或初相位。
若所取计时起点不同，则正弦量初相位不同。
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3.1.2 有效值
有效值是从电流的热效应来规 定的。如果交流电流通过一个电阻 时在一个周期内消耗的电能与某直 流电流通过同一电阻在相同时间内 消耗的电能相等, 就将这一直流电 流的数值定义为交流电流的有效值。
i1与i3反相
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3.2 正弦交流电的相量表示法
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了用三角 函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同频率的正弦量。
正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。
相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具， 应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
正弦电量
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2
第3章 正弦交流电路
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路 应用更为广泛。
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分 所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本 分析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。
i
+
u
R
–
i
+
u
C
–
i
i
+ u+
+
–R R
u
L u u+
–
L– L
– uC+– C
4
3.1 正弦交流电的基本概念
大小和方向随时间作周期性变化、并且在一个周期 内的平均值为零的电压、电流和电动势统称为交流电。
工程上所用的交流电主要指正弦交流电。
i (t)= Imsin ( t+i )
i
正弦交流电的三要素： Im （1）幅值 Im
第3章 正弦交流电路
3.1 正弦交流电的基本概念
3.2 正弦交流电的相量表示法
3.3 单一参数的交流电路
3.4 正弦交流电路的分析
3.5 正弦交流电路的功率
3.6 交流电路的频率特性
3.7 电路中的谐振
3.8 双口网络
3.9 非正弦周期信号电路
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前言
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相量
（时间函数） 变换 （复数）
例如，已知两个支路电流
i1= I1 msin(t+ i1) i2= I2 msin(t+ i2)
若需求： i1 + i2
正弦量运算
相量运算 （复数运算)
所求正弦量 反变换 相量结果
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3.2 正弦交流电的相量表示法
正弦量可用旋转有向线段表示
+j
A
0 t1+
i
i= Imsin(t+)
b
A
r
A=a+jb
=r(cos +jsin)
代数式 三角式
0
幅角
a +1 =rej
=r
指数式 极坐标式
a=rcos
b=rsin
r = a2+b2
=arctan
b a
复数在进行加减运算时应采用代数式， 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
复数在进行乘运算时应采用指数式或极坐标式， 模与模相乘，幅角与幅角相加。
有效值用大写字母表示。如 I、U、E。
根据上述定义，有
∫T Ri2dt=RI2T 0
有效值
I 1 Ti2dt T0
i Im
2 t
0
Ｔt
–Im
i Im sitn i( )
当电流为正弦量时:
I Im 2
同理可得
U Um 2
E Em
2
11
3.1.3 相位差
ui u
i
0
2
1
i
i1
i2
0
i3
•
Im
+1
0
t1
t
A
t2
有向线段长度是Im，t=0时，与横轴的夹角是 ，以角速度
逆时针方向旋转，它在虚轴上的投影，即为正弦电流的瞬时值。
例如： t=t1时， i(t1)= Imsin(t1+)
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有向线段可用复数表示 由欧拉公式，得出：
+j 模
j 1
cos +jsin =ej
复数Ａ可用几种形式表示
Tt
2 t
初相位
最大值
角 频率 =2 f
f=
1 T
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3.1 正弦交流电的基本概念
3.1.1 正弦交流电的三要素 1、 最大值
最大值是交流电的幅值，用大写字母加下标表示。 如Im、Um、Em。iIm Nhomakorabea0
2 t
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2、频率、周期、角频率
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；
频率 f ：正弦量每秒内变化的次数；
电路图上所标的方向是指它们的参考 方向，即代表正半周的方向。
0
t
图(a)
负半周时，由于电压（或电流）为负值， u i
所以其实际方向与参考方向相反。
实
i
际 方
+ u
R
向
–
正半周
i + uR
–
负半周
+
0
t
图(b)
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3.1 正弦交流电的基本概念
3.1.1 正弦交流电的三要素 i
Im
0
i
T/2
T
i= Imsin( t+i)
f1
i Im
T
交流电每交变一个周期便变
化了2弧度，即 T = 2
0
角频率 : 2π 2πf
T
–Im
T
2 t Ｔt
例3.1.1 我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。
［解］ T 1 0.02S f
= 2f = 23.1450 = 314rad/s
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3、 初相位
对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值(t=0时的值) 就不同，到达幅值或某一特定值所需的时间也就不同。
u= Umsin( t+1) i = Imsin( t+2)
两个同频率正弦量的相位角
之差称为相位差，用 表示。
t
= ( t+1)–( t+2)= 1 –2
图中1 >2 即u 比i 超前 角
或称 i 比 u 滞后 角
i1与i2同相
当两个同频率的正弦量计时
t 起点改变时，它们的初相位 改变，但相位差不变。
本章还将讨论非正弦周期信号电路。
交流电路具有用直流电路的概念无法理解和分析的物理 现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。
3
要解决的问题：
已知 ：i1=I1msin(t+ 1)=100sin(t+45)A，
i2=I2msin(t+ 2)=60sin(t30)A ，试求 i=i1+i2
。
（2）角频率
0
2 t
（3）初相位 i
瞬时值是交流电任一时刻的值，用小写字母表示。
如：i，u，e
分别表示电流、电压电动势的瞬时值。 5
3.1 正弦交流电的基本概念
直流电路在稳定状态下电流、电压的大 I U 小和方向是不随时间变化的，如图(a)所示。
正弦电压和电流是按正弦规律周期性 变化的，其波形如图(b)所示。