规范练四 解析几何问题
1．已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到直线l 1：3x ＋4y ＝0的距离为3
5. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (km ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点恰好在直线l 1上，求△OAB 的面积S 的最大值(其中O 为坐标原点)．
解 (1)由题意，得e ＝c a ＝12.∴右焦点(c,0)到直线3x ＋4y ＝0的距离为35，∴3c 5＝3
5，∴c ＝1，∴a ＝2.
∴椭圆的方程为x 2
4＋y
2
3＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 2：y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，
因此x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.
∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝
6m
4k 2＋3
. ∴AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km
4k 2＋3，3m 4k 2
＋3， 又点M 在直线l 1上，得3×
－4km 4k 2＋3＋4×3m
4k 2＋3
＝0， ∴k ＝1，故x 1＋x 2＝－8m 7，x 1x 2＝4m 2－12
7，
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝4677－m 2，原点O 到AB 的距离为d ＝|m |2
＝2
2|m |，
∴S ＝237m 2(7－m 2)≤23
7×m 2＋(7－m 2)2
＝3，
当且仅当m 2＝7
2时取到等号，经检验此时Δ>0成立． 故△OAB 的面积S 的最大值为 3.
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l ：x －y ＋2＝0与以原点为圆心， 以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝4，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，－1.
(1)解 ∵等轴双曲线离心率为2，
∴椭圆C 的离心率e ＝22.∴e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，
∴a 2＝2b 2.∵由x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得 b ＝1，∴a 2
＝2.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)证明 ①若直线AB 的斜率不存在， 设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)． 由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0
＝4，得x 0＝－1
2.
此时AB 方程为x ＝－12，明显过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，－1.
②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ， 依题意m ≠±1.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，
得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 则x 1＋x 2＝－4km
1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2
.
由已知k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1
x 2＝4，
∴
kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1
x 2
＝4， 即2k ＋(m －1)x 1＋x 2
x 1x 2
＝4，。