近四年上海高考解析几何试题近四年上海高考解析几何试题一(填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.5221 ( 2005春季7 ) 双曲线的焦距是 . 9x,16y,162 (2005年3) 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的A(1,2)P(x,y)xoyOP,OA,4轨迹方程是__________。
解答:设点P的坐标是(x,y)，则由知OP,OA,4x，2y,4,x，2y,4,03 (2005年5) 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是，，y,,3x10,0b__________。
解答:由双曲线的渐近线方程为，知，它的一个焦点是，知，，y,,3x,310,0a2y222，因此双曲线的方程是 a,1,b,3x,,1a，b,109,,，x12cos,4 (2005年6) 将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是__________。
,,y,2sin,,22解答: (x,1)，y,42225 (2006春季5) 已知圆和直线. 若圆与直线没l:3x，y，5,0C:(x，5)，y,r(r,0)Cl有公共r 点，则的取值范围是 . (0,10)6 (2006春季11) 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐P(2,1)yxlA、BO标原点，则三角形面积的最小值为 . 4. OAB227 (2006年2) 已知圆,4,4，,0的圆心是点P，则点P到直线,,1,0的距离yxxyx是 ;|201|,,2 解:由已知得圆心为:，由点到直线距离公式得:; P(2,0)d,,211，8 (2006年7) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(,2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则3该椭圆的标准方程是 ;2b,4,2,abc,,2,23,2y,,x2解:已知为所求; ,,,,，,a161,,222164abc,,,,,F(23,0),,,,5,9 (2006年8)在极坐标系中，O是极点，设点A(4，)，B(5，,)，则?OAB的面积是 ; 36,,,55 解:如图?OAB中， ,,，,,,,,OAOBAOB4,5,2(()),36615, (平方单位); ,,,S45sin5,AOB26210 (2006年11) 若曲线,||，1与直线,，没有公共点，则、分别应满足的条件yyxkxbkb是 (xx，,1,0,2 解:作出函数的图象， yx,，,||1,,，,xx1,0,如右图所示:所以，; kb,,,0,(1,1)211 (2007春季6) 在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线的焦点的距离xOyy,4x为6，则点P的横坐标 . 5. x,212 (2007春季7) 在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共xOyx,4,yx,m点，则实数 . 2. m,13 (2007年2) 若直线与直线平行，则lxmy: 210，，,lyx:,,31122 ( m,,322xy14 (2007年8) 以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程,,145是2 ( y,12(x，3)2215 (2007年11) 已知P为圆上 x，(y,1),1任意一点(原点除外)，直线 OOP的倾斜角为弧度，记( d,|OP|,在右侧的坐标系中，画出以()，d ,为坐标的点的轨迹的大致图形为22xy16 (2008春季7) 已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为P,,12a9. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若，则 . PF,3PF,FF、530xy,,211217 (2008春季12) 已知，直线:和. 设l:lxly,,0,:0AB(1,2),(3,4)x，3y,,101233是上与两点距离平方和最小的点，则?的面积是 BPlPPPA、(1,2,3)i,ii1232二(选择题:每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.218 (2005年15) 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标y,4x之和等于5，则这样的直线( B )A(有且仅有一条 B(有且仅有两条 C(有无穷多条 D(不存在2解答:的焦点是(1，0)，设直线方程为 (1)将(1)代入抛物线方y,4xy,k(x,1)k,02222程可得，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是 kx,(2k，4)x，k,022423k，2534，选B ,,k,,k,,23k219 (2006春季13) 抛物线的焦点坐标为 y,4x( B )(A). (B). (C). (D). (0,1)(1,0)(0,2)(2,0)22yx20 (2006春季15) 若，则“”是“方程表示双曲线”的( A ) ,,1k,Rk,3k,3k，3(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件.(C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.22xy21 (2008春季14) 已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为4，则等于( D ) ，,1my102,,mm(A)4. (B). (C). (D). 587三(解答题:解答下列各题必须写出必要的步骤.22 ( 2005春季22) (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.第3小题满分5分.(1)求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程; (2,0)(,2,,2)22yx(2)已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，交椭圆于两点，A(a,b,0)、B，,1CkCl22ab的中点为. 证明:当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上; ABMMl(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.22yx[解](1)设椭圆的标准方程为，，，,1a,b,022ab22yx22 ? ，即椭圆的方程为，，,1a,b，422b，4b4222 ? 点()在椭圆上，? ，解得或(舍)，，,1,2,,2b,4b,,222b，4b22yx2 由此得，即椭圆的标准方程为. …… 5分，,1a,884[证明](2)设直线的方程为，…… 6分 y,kx，mlykxm,，,,22 与椭圆的交点A()、B()，则有， x,yx,yCyx,1122，,122,ab, 222222222 解得， (b，ak)x，2akmx，am,ab,02222222222 ? ，? ，即 . ,b，ak,m,b，ak,,0m,b，ak222akm2bm则， x，x,,,y，y,kx，m，kx，m,121212222222b，akb，ak22,,akmbm,, ? MAB中点的坐标为. …… 11分 ,,222222,,，，bakbak,,22MAB ? 线段的中点在过原点的直线上. …… 13分 bx，aky,0[解](3)如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，ABABC、DCDM、N连接直线;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于、和，并C、DABMN1111分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆CDMNMNABM、NMNO1111111111中心. …… 18分23 (2005年19)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分(22xy 如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，AB，,13620点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，( PAPF,x(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值( MBd[解](1)由已知可得点A(,6，0)，F(4，0)设点P的坐标是，由已知得 (x,y),则AP,{x，6,y},FP,{x,4,y}22,xy，,13,2 则2x，9x,18,0,x,或x,,6.3620,22,(x，6)(x,4)，y,0,3535由于 y,0,只能x,,于是y,3,？点P的坐标是(,3).2222(2)直线AP的方程是设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离x,3y，6,0.|m，6|是， 2|m，6|于是椭圆上的点到点M的距离d有 (x,y),|m,6|,又,6,m,6,解得m,2,2 549222222 d,(x,2)，y,x,4x，4，20,x,(x,)，15,9929由于 ,6,x,6,？当x,时,d取得最小值15.224 (2006春季20) (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针22yx方向)的轨迹方程为，变轨(即航天器运行轨迹，,110025由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、64,, 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟D(8,0)A(4,0)、B(6,0)M0,,,7,,踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天xA、B器发出变轨指令,642[解](1)设曲线方程为， y,ax，7641由题意可知，0,a,64，. .……4分？a,,771642 曲线方程为. ……6分？y,,x，77(2)设变轨点为，根据题意可知 C(x,y)22,yx，,1,(1),,10025 ,1642,,,，,(2)yx,77,92得，或y,,(不合题意，舍去). y,44y,7y,36,04. ……9分？y,4得或(不合题意，舍去). 点的坐标为，……11分 (6,4)？x,6x,,6C.答:当观测点测得距离分别为时，应向航天器|AC|,25,|BC|,425、4A、BAC、BC发出变轨指令. (14)分25 (2006年20)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分)2在平面直角坐标系O中，直线与抛物线,2相交于A、B两点( yxyxl,,,,,,(1)求证:“如果直线过点T(3，0)，那么,3”是真命题; lOA,OB(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由(2[解](1)设过点T(3,0)的直线交抛物线y=2x于点A(x,y)、B(x,y). l1122 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,lll6,). ?=3; 6OA,OB2yx,2, 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，由ykx,,(3)llk,0,ykx,,(3),11222得又 ? ， xyxy,,,kyykyy,,,,,,26061122122212 ?， OAOBxxyyyyyy,，,，,()3121212124综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题; lOA,OB2(2)逆命题是:设直线交抛物线y=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).lOA,OB1该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3, OAOB2 2直线AB的方程为:，而T(3,0)不在直线AB上; yx,，(1)32说明:由抛物线y=2x上的点A (x,y)、B (x,y) 满足=3，可得yy=,6，或yy=2， OA,OB11221212如果yy=,6，可证得直线AB过点(3,0); 12如果yy=2，可证得直线AB过点(,1,0),而不过点(3,0). 1226 (2007春季17. (14分) 求出一个数学问题的正确结论后～将其作为条件之一～提出与原来问题有关的新问题～我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如～原来问题是“若正四棱锥底面边长为4～侧棱长为3～求该正四棱锥的体积”.求出体1616积后～它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4～体积为～求侧棱长”,3316也可以是“若正四棱锥的体积为～求所有侧面面积之和的最小值”. 3试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离.”的一个xOyP(2,1)3x，4y,0有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.评分说明:(?) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. (?) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.|3,2，4,1|[解] 点到直线的距离为. …… 4分 (2,1)3x，4y,0,2223，4“逆向”问题可以是:(1) 求到直线的距离为2的点的轨迹方程. …… 10分 3x，4y,0|3x，4y| [解] 设所求轨迹上任意一点为，则， P(x,y),25所求轨迹为或. …… 14分 3x，4y,10,03x，4y，10,0(2) 若点到直线的距离为2，求直线的方程. …… 10分 P(2,1)l:ax，by,0l|2a，b|2 [解] ，化简得，或， ,24ab,3b,0b,04a,3b22a，b所以，直线的方程为或. …… 14分 3x，4y,0lx,0意义不大的“逆向”问题可能是:(3) 点是不是到直线的距离为2的一个点, …… 6分 P(2,1)3x，4y,0|3,2，4,1| [解] 因为， ,2223，4是到直线的距离为2的一个点. ……10分所以点P(2,1)3x，4y,0(4) 点是不是到直线的距离为2的一个点, …… 6分 Q(1,1)3x，4y,0|3,1，4,1|7 [解] 因为， ,,22253，4所以点不是到直线的距离为2的一个点. ……10分 Q(1,1)3x，4y,0(5) 点是不是到直线的距离为2的一个点, …… 6分 P(2,1)5x，12y,0|5,2，12,1|22 [解] 因为， ,,222135，12所以点不是到直线的距离为2的一个点. ……10分 P(2,1)5x，12y,027 (2007春季18)(14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在直角坐标系中，设椭圆 xOyy22yx的左右两个焦点 C:，,1(a,b,0)22ab分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭F、FFxl122x 圆相交，其中一个交点为. ，，M2,1C(1) 求椭圆的方程; C(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求?的面积.B(0,,b)FBNBFCCN21y [解] (1) [解法一] 轴，的坐标为.…… 2分，，？l,x？F2,0221,2,，,1,,4,a,22 由题意可知得 ,,abx 2b,2.22,,ab,,2,,22yx？所求椭圆方程为. …… 6分，,142[解法二]由椭圆定义可知. 由题意，. …… 2分 MF，MF,2aMF,1？MF,2a,1122122又由?可知，， MFF，，(2a,1),22，1Rta,01222yx222？，又，得. 椭圆的方程为. …… 6分？a,2a,b,2b,2C，,142(2)直线的方程为. …… 8分 BFy,x,22,,,2,yx2,22由得点的纵坐标为. …… 10分 N,yx3，,1,,42,,,128,,又，. …… 14分 222FF,22？S,，，，,12,FBN1,,233,,28 (2007年21)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分(2222xyyx我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果，,1(0)x?，,1(0)x?2222abbc222圆”，其中，，( a,b，ca,0b,c,0如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的FyFFAABBx1212021y 交点( B2(1)若是边长为1的等边三角形，求?FFF012 . F2“果圆”的方程; . x F O bAA012, (2)当时，求的取值范围; AABB. 1212a F1(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” B1的弦(试研究:是否存在实数，使斜率为的“果圆” kk平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上,若存在，求出所有可能的值;若不存在，说明理由( k2222？解:(1) ， FcFbcFbc(0)00，，，，，,,,，，，，01222222？,,，,,,,,FFbccbFFbc121，，，，0212374222222 于是，所求“果圆”方程为，cabc,,，,，xyx，,1(0)?447422( yxx，,1(0)?322(2)由题意，得，即( a,b,2b,aa，c,2bb42222222 ，，得,( ？(2b),b，c,a？a,b,(2b,a)a521,,bb242222, 又( ( b,c,a,b？,？,，,,2,,a252a,,2222xyyx (3)设“果圆”的方程为，( ，,1(0)x?，,1(0)x?C2222abbc( 记平行弦的斜率为k22xy当时，直线与半椭圆的交点是 ytbtb,,()??，,1(0)x?k,022ab2222,,,,yxtt，与半椭圆的交点是( P，,1(0)x?Qat1,，,,ct1，,,,,2222,,,,bcbb,,,,2,22act,xy,x,,1,2 的中点满足得 ( ？MPQ，()xy，，,1,2b22ba,c,,,yt,，,,,2,,2acacbacb,,,,，22,,2 ， ( ？？a,2b,,,b0,,222,,综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上( k,022xy 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是B，,1(0)x?k,0kl122ab2223,,2kabkabb,( ，,,222222kabkab，，,,2b 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭y,,xlk2ka圆上(当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上( k,029 (2008春季18. (本题满分12分) 在平面直角坐标系中，分别为直线与xOyAB、xy，,22轴的交点，为的中点. 若抛物线过点，求焦点F到直线的ABABypxp,,2(0)CCxy、距离.[解] 由已知可得，…… 3分 ABC(2,0),(0,2),(1,1)2 解得抛物线方程为. …… 6分 yx,1,, 于是焦点. …… 9分 F,0,,4,,1，,02724？F 点到直线AB的距离为. …… 12分 ,8230 (2008春季22)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.2 已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为zxbxc，，,20. Pzz(Re,Im)z22(1)若在直线上，求证:在圆:上; PC(1)1xy,，,(,)bc20xy，,z1222(2)给定圆:(，)，则存在唯一的线段满足:?若P()xmyr,，,sCmr、,Rr,0z在圆上，则在线段上;? 若是线段上一点(非端点)，则在圆上. 写ssPC(,)bc(,)bcCz的表达式，并说明理由; 出线段s(3)由(2)知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一(表sC中是(1)中圆的对应线段). sC1122[证明](1)由题意可得，解方程，得，……zbbb,,,,,2i20bc，,xbxb，,,2202分22 点或，？Pbbb,,,,2Pbbb,,,,,2，，z，z，22 将点代入圆的方程，等号成立，在圆:上. …… 4分？PCPC(1)1xy,，,z1z122(2)[解法一] 当，即时，解得， ,,0zbcb,,,,ibc,22 ？点或， Pbcb,,,Pbcb,,,,，，z，z，22222 由题意可得，整理后得，…… 6分 (),,，,,bmcbrcmbrm,,，,22222 ，， . ,,,,40bc()bmcbr，，,,？,,,,，bmrmr(,)，，22 ？线段为: ，. scmbrm,,，,2bmrmr,,,,，[,]若是线段上一点(非端点)，则实系数方程为 s(,)bc222. xbxmbrmbmrmr，,，,,,,,,，220,(,)2222此时，且点、在圆上.…… 10,,0CPbrbm,,，,()Pbrbm,,,，,()，，z，z，分2 [解法二] 设是原方程的虚根，则， (i)2(i)0xybxyc，，，，,zxy,，ixb,,,?,解得 ,22yxbxc,，，2,?,222 由题意可得，. ? ()xmyr,，,22 解?、?、? 得. …… 6分 cmbrm,,，,2以下同解法一.[解](3)表一线段与线段的关系 ssmr、的取值或表达式得分 1 ssm,1所在直线平行于所在直线 r,11， 12分22ss， rm,,,(1)1m,1所在直线平分线段 115分22 145，,mrs，，线段与线段长度相等 s118分。