1.12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点,点P 在椭圆上运动,则12||||PF PF ⋅的最大值是 .2.若直线mx +ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,则m 、n 满足的关系式为____________;以(m ,n )为点P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有_______个.3.P 是抛物线y 2=x 上的动点,Q 是圆(x-3)2+y 2=1的动点,则|PQ |的最小值为 .4.若圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点。
则实数a 的范围为 .5.若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是 .6.圆心在直线2x -y -7=0上的圆C 与y 轴交于两点A (0,-4)、B (0,-2),则圆C 的方程为____________.7.经过两圆(x+3)2+y 2=13和x+2(y+3)2=37的交点,且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程为____________8.双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ,点P 为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF 的斜率的变化范围是___________.9.已知A (0,7)、B (0,-7)、C (12,2),以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆,椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是___________.10.设P 1(2,2)、P 2(-2,-2),M 是双曲线y =x1上位于第一象限的点,对于命题①|MP 2|-|MP 1|=22;②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2+y 2=2相切;③存在常数b ,使得M 到直线y =-x +b 的距离等于22|MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________. 11.到两定点A (0,0),B (3,4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A.椭圆 B.AB 所在直线 C.线段AB D.无轨迹12.若点(x ,y )在椭圆4x 2+y 2=4上,则2-x y的最小值为( ) A.1B.-1C.-323D.以上都不对13已知F 1(-3,0)、F 2(3,0)是椭圆m x 2+ny 2=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,当∠F 1PF 2=3π2时,△F 1PF 2的面积最大,则有( ) A.m =12,n =3 B.m =24,n =6C.m =6,n =23D.m =12,n =6 14.P 为双曲线C 上一点,F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点,过双曲线C 的一个焦点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,设垂足为Q ,则Q 点的轨迹是( ) 12.A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线 三、解答题15.(满分10分)如下图,过抛物线y 2=2px (p >0)上一定点P (x 0,y 0) (y 0>0),作两条直线分别交抛物线于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).(1)求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离; (2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求021y y y 的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.16.(满分10分)如下图,O 为坐标原点,直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b (a >0,b ≠0),且交抛物线y 2=2px (p >0)于M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)两点.(1)证明:11y +21y =b1;(2)当a =2p 时,求∠MON 的大小.(15题图) (16题图)17.(满分10分) 已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1(a >b >0),双曲线22a x -22by =1的两条渐近线为l 1、l 2,过椭圆C 的右焦点F 作直线l ,使l ⊥l 1,又l 与l 2交于P 点,设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .(如下图)(1)当l 1与l 2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C 的方程;(2)当FA =λAP 时,求λ的最大值.(17题图) (18题图)18.(满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO BO ⊥(如上图).(Ⅰ)求AOB ∆得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;(Ⅱ)AOB ∆的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.19.(满分12分)抛物线y 2=4px (p >0)的准线与x 轴交于M 点,过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点.(1)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于N (x 0,0),求证:x 0>3p ;(2)若直线l 的斜率依次为p ,p 2,p 3,…,线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为N 1,N 2,N 3,…,当0<p <1时,求||121N N +||132N N +…+||11110N N 的值.20.(满分12分)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点,点N (1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程;(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由.解析几何综合题1.12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点,点P 在椭圆上运动,则12||||PF PF ⋅的最大值是 .1答案:4简解: 12||||PF PF ⋅≤2212||||()42PF PF a +== 2.若直线mx +ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,则m 、n 满足的关系式为____________;以(m ,n )为点P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有____________个.2答案:0<m 2+n 2<3 ; 2简解:将直线mx +ny -3=0变形代入圆方程x 2+y 2=3,消去x ,得 (m 2+n 2)y 2-6ny +9-3m 2=0. 令Δ<0得m 2+n 2<3. 又m 、n 不同时为零, ∴0<m 2+n 2<3.由0<m 2+n 2<3,可知|n |<3,|m |<3, 再由椭圆方程a =7,b =3可知公共点有2个.3.P 是抛物线y 2=x 上的动点,Q 是圆(x-3)2+y 2=1的动点,则|PQ |的最小值为 . 3.答案:211-1 简解:将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值4.若圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点。
则实数a 为 . 4.答案:817=a 或11<<-a 简解:将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立,消去y , 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a 或⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之 5.若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是 . 5.答案:314k -<≤ 简解:将曲线y =转化为224x y -=时考虑纵坐标的范围;另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
6.圆心在直线2x -y -7=0上的圆C 与y 轴交于两点A (0,-4)、B (0,-2),则圆C 的方程为____________.6.答案:(x -2)2+(y+3)2=5 5.简解:∵圆C 与y 轴交于A (0,-4),B (0,-2),∴由垂径定理得圆心在y=-3这条直线上. 又已知圆心在直线2x -y -7=0上, y=-3,2x -y -7=0.∴圆心为(2,-3),半径r=|AC|=22)]4(3[2---+=5. ∴所求圆C 的方程为(x -2)2+(y+3)2=5.7.经过两圆(x+3)2+y 2=13和x 2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程为____________..7.答案:(x +21)2+(y +27)2= 289简解:因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y 2=13和x+2(y+3)2=37的交点, 所以设所求圆的方程为(x+3)2+y 2-13+λ[x 2+(y+3)2-37]=0.展开、配方、整理,得(x+λ+13)2+(y+λλ+13)2=λλ++1284+22)1()1(9λλ++. 圆心为(-λ+13,-λλ+13),代入方程x -y -4=0,得λ=-7. 故所求圆的方程为(x+21)2+(y+27)2= 289.8.双曲线x2-y2=1的左焦点为F ,点P 为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF 的斜率的变化范围是___________. 8.答案:(-∞,0)∪(1,+∞)简解:解析:数形结合法,与渐近线斜率比较.9.已知A (0,7)、B (0,-7)、C (12,2),以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆,椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是___________.9.答案:.y 2-482x=1(y ≤-1)简解:由题意|AC |=13,|BC |=15,|AB |=14,又|AF |+|AC |=|BF |+|BC |, ∴|AF |-|BF |=|BC |-|AC |=2.故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点,实轴长为2的双曲线下支.又c=7,a=1,b 2=48,所以轨迹方程为∴联立解得x =2,y 2-482x =1(y ≤-1).10.设P 1(2,2)、P 2(-2,-2),M 是双曲线y =x1上位于第一象限的点,对于命题①|MP 2|-|MP 1|=22;②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2+y 2=2相切;③存在常数b ,使得M 到直线y =-x +b 的距离等于22|MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________. 10答案:①②③简解:由双曲线定义可知①正确,②画图由题意可知正确,③由距离公式及|MP 1|可知正确. 11.到两定点A (0,0),B (3,4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A.椭圆 B.AB 所在直线 C.线段ABD.无轨迹11.答案:C简解:数形结合易知动点的轨迹是线段AB :y =34x ,其中0≤x ≤3. 12.若点(x ,y )在椭圆4x 2+y 2=4上,则2-x y的最小值为( ) A.1B.-1C.-323D.以上都不对12.答案:C简解:2-x y的几何意义是椭圆上的点与定点(2,0)连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值,设直线y =k (x -2)代入椭圆方程(4+k 2)x 2-4k 2x +4k 2-4=0.令Δ=0,k =±323.∴k min =-323.13..已知F 1(-3,0)、F 2(3,0)是椭圆m x 2+ny 2=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,当∠F 1PF 2=3π2时,△F 1PF 2的面积最大,则有( )A.m =12,n =3B.m =24,n =6C.m =6,n =23D.m =12,n =613.答案:A简解:由条件求出椭圆方程即得m =12,n =3.14.P 为双曲线C 上一点,F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点,过双曲线C 的一个焦点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,设垂足为Q ,则Q 点的轨迹是( ) 12.A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线14.答案:B简解:延长F 1Q 与PF 2相交点R ,根据双曲线的定义,R 在以F 2为圆心的圆上, 利用代入法得15.如下图,过抛物线y 2=2px (p >0)上一定点P (x 0,y 0)(y 0>0),作两条直线分别交抛物线于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).(1)求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求021y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.解:(1)当y =2p 时,x =8p . 又抛物线y 2=2px 的准线方程为x =-2p, 由抛物线定义得所求距离为8p -(-2p )=85p . (2)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB . 由y 12=2px 1,y 02=2px 0, 相减得(y 1-y 0)(y 1+y 0)=2p (x 1-x 0),故k PA =0101x x y y --=012y y p+(x 1≠x 0).同理可得k PB =22y y p+(x 2≠x 0).由PA 、PB 倾斜角互补知k PA =-k PB ,即012y y p +=-022y y p +,所以y 1+y 2=-2y 0, 故21y y y +=-2. 设直线AB 的斜率为k AB . 由y 22=2px 2,y 12=2px 1,相减得(y 2-y 1)(y 2+y 1)=2p (x 2-x 1),所以k AB =1212x x y y --=212y y p+(x 1≠x 2).将y 1+y 2=-2y 0(y 0>0)代入得k AB =212y y p +=-0y p,所以k AB 是非零常数.16.如图,O 为坐标原点,直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b (a >0,b ≠0),且交抛物线y 2=2px (p >0)于M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)两点.(1)证明:11y +21y =b1;(2)当a =2p 时,求∠MON 的大小.16证明:(1)直线l 的截距式方程为a x +by=1.①,由①及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay -2pab =0. ②解: 点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根,故y 1+y 2=bpa2-,y 1y 2=-2pa . 所以11y +21y =2121y y y y +=pa b pa22--=b1.(2)解:设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2, 则k 1=11x y ,k 2=22x y .当a =2p 时,由(2)知,y 1y 2=-2pa =-4p 2, 由y 12=2px 1,y 22=2px 2,相乘得(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2, x 1x 2=22214)(p y y =2224)4(pp =4p 2, 因此k 1k 2=2121x x y y =2244p p -=-1.所以OM ⊥ON ,即∠MON =90°.17.已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1(a >b >0),双曲线22a x -22by =1的两条渐近线为l 1、l 2,过椭圆C 的右焦点F 作直线l ,使l ⊥l 1,又l 与l 2交于P 点,设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .(如下图)(1)当l 1与l 2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C 的方程; (2)当FA =λAP 时,求λ的最大值. 17解:(1)∵双曲线的渐近线为y =±abx ,两渐近线夹角为60°,又ab<1, ∴∠POx =30°,即ab=tan30°=33.∴a =3b . 又a 2+b 2=4, ∴a 2=3,b 2=1.故椭圆C 的方程为32x +y 2=1.(2)由已知l :y =b a (x -c ),与y =a b x 解得P (c a 2,c ab),由FA =λAP 得A (λλ+⋅+12c a c ,λλ+⋅1c ab ). 将A 点坐标代入椭圆方程得(c 2+λa 2)2+λ2a 4=(1+λ)2a 2c 2.∴(e 2+λ)2+λ2=e 2(1+λ)2. (令ac e =) ∴λ2=2224--e e e =-[(2-e 2)+222e -]+3≤3-22. ∴λ的最大值为2-1.18.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO BO ⊥(如图4所示).(Ⅰ)求AOB ∆得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;(Ⅱ)AOB ∆的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.18解:(I )设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x (1)∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x , (2)又点A ,B 在抛物线上,有222211,x y x y ==,代入(2)化简得121-=x x∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y(II )22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由(I )得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时,等号成立。