E0=12ћω(2.60) 现在我们安全地站在梯子的最底部(量子谐振
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
第2章 定态薛定谔方程
2.1 定态 2.2 一维无限深方势阱 2.3 谐振子 2.4 自由粒子 2.5 δ函数势 2.6 有限深方势阱
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
-ћ22m d2ψdx2+Vψ=Eψ.是两个定态的线性 组合：Ψ(x,0)=c1ψ1(x)+c2ψ2(x).(为使题目简单化， 假设常数cn和态ψn(x)是实数。)那么任意时刻的波 函数Ψ(x,t)是什么？求出概率密度并描述其运动形 式。
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.2 一维无限深方势阱
图2.1 一维无限深方势阱(式2.19)
图2.2 一维无限深方势阱的前三个定态(式2.28)
在x=a处的边界条件没有确定常数A，却确 定了常数k；能量E的可能值是：
En=ћ2k2n2m=n2π2ћ22ma2.(2.27)
A=2/a(A的相位没任何物理意义)。这样，势 阱内的解是
∑∞n=1cn2=815π32∑∞n=1,3,5,…1n6=1.
在本题中能量的期待值是
〈H=∑∞n=1,3,5,…815n3π32n2π2ћ22ma2=480ћ2π4 ma2∑∞n=1,3,5,…1n4=5ћ2ma2.
可以预期这很接近于E1=π2ћ2/2ma2——比它稍微大 一点，这是由于与激发态的混合造成的。
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
ψn(x)=2asinnπax.(2.28)
ψ1具有最低的能量，称为基态，其他态的能 量正比于n2增加，称为激发态。
总结一下函数ψn(x)的重要和有趣的性质： 1. 它们相对于势阱的中心是奇偶交替的：ψ1是偶函数，ψ2是奇函数，ψ3是 偶函数，依次类推9。 2. 随着能量的增加，态的节点(与x轴交点)数逐次增1；ψ1没有(端点不计)， ψ2有1个，ψ3有2个，依次类推。 3. 它们是相互正交的，也就是说当m≠n时， ∫ψm(x)*ψn(x)dx=0.(2.29) 4.它们是完备的，也就是说任意一个函数f(x)，都可以用它们的线性组合来 表示：
=215a3a∫a0xsinnπaxdx-∫a0x2sinnπaxdx =215a3aanπ2sinnπax-axnπcosnπaxa0-2anπ2xsinnπax-
(nπx/a)2-2(nπ/a)3cosnπaxa0 =215a3-a3nπcos(nπ)+a3(nπ)2-2(nπ)3cos(nπ)+a32(nπ)3cos(0) =415(nπ)3cos(0)-cos(nπ) =0， 如果n为偶数,815/(nπ)3，如果n为奇数. 这样(式2.36)为 Ψ(x,t)=30a2π3∑n=1,3,5,…1n3sinnπaxe-in2π2ћt/2ma2.
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动