⎨y ' = ⋅ y,(> 0). 0
⎩ 极坐标与参数方程知识点、题型总结
一、伸缩变换：点 P (x , y ) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
: ⎧x ' = ⋅ x,(> 0), 的作用下，点 P (x , y ) 对应到点 P '(x ', y ') ，称伸缩变换 ⎩
一、
1、极坐标定义：M 是平面上一点， 表示 OM 的长度，是∠MOx ，则有序实数实 数对(,) , 叫极径，叫极角；一般地，∈[0, 2) ， ≥ 0 。

，点 P 的直角坐标、 极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)
⎧x = cos ⎨ ⎧2 = x 2
+ y 2
⎪ 2、直角坐标⇒ 极坐标
y = sin 2、极坐标⇒ 直角坐标⎨tan = y
(x ≠ 0)
⎩ ⎪⎩ x
3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点 M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：
ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为 M (ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方
程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ 2－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的
⎧x = f (t ),
坐标 x , y 都是某个变数t 的函数⎨ y = g (t ),
并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确
定的点 M (x , y ) 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x , y 的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方
程叫做普通方程。

（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程
x = x 0 + t cos
1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：
（t 为参数）
y = y 0 + t sin
（1） 其中参数 t 的几何意义：点 P （x 0，y 0），点 M 对应的参数为t ，则 PM =|t|
(2)直线上 P 1 , P 2 对应的参数是t 1, t 2 。

|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝
t 1＋t 2 2－4t 1t 2.
+ = + = {
) 4 x = x 0 + at 直线的一般参数方程：
（t 为参数）若 a y = y 0 + bt
的几何意义成立，否则，不成立。

（2）
圆心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：
2
+ b 2
= 1 ，则上面（1）、（2）中
x = x 0 + r cos
y = y 0 + r s in
（为参数）
x 2 （3） 椭圆 a 2 y 2 y 2 b 2 1（或 a 2 x 2
b 2 1）：
x = a cos x = b cos
y = b s in
（ 为参数） （或
）
y = a sin
x = 2 pt 2
（4） 抛物线 y 2 = 2 px
：
（t 为参数，p ＞0）
y = 2 pt
题型归类：（1） 极坐标与直角坐标的互相转化
（2） 参数方程与普通方程互化 (3)
利用参数方程求值域
参数的几何意义
一、极坐标方程与直角方程的互化，求极坐标方程：方法：代公式 1．已知某圆的极坐标方程为
2
- 4 2cos(
-
+ 6 = 0 4
（I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（II ）
若点 P (x , y ) 在该圆上，求 x + y 的最大值和最小值．6,2
2 极坐标方程4⋅sin 2 = 5 表示的曲线是（
） 抛物线
2
⎛
⎫
2 3、直线的极坐标方程为
sin + ⎪ =
⎝ ⎭ ，则极点到该直线的距离是
2
4、极坐标方程
2
cos - = 0 转化成直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 0或x = 1
二、参数方程与普通方程的互化
1、参数方程⇒ 普通方程：方法;消参, 普通方程⇒ 参数方程：代公式
⎧⎪x = 2t - 2-t
5、方程⎨ ⎪⎩ y = 2t
（t 为参数）表示的曲线是（
）
+ 2-t
2
2
3 2 ⎨ y = sin , ⎪ ⎩
⎩ ⎪ A. 双 曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
⎧
x = 1 + 1 t ,
6. 已知直线 : ⎨ 2
⎪ y = t .
⎩ 2
(t 为参数), 曲线C 1 : ⎧x = cos , ⎩ （为参数）.
（Ⅰ）设 与C 1 相交于 A , B 两点,求| AB | ；1
（Ⅱ）若把曲线C 上各点的横坐标压缩为原来的 1 倍,纵坐标压缩为原来的
3
倍,得
1
2
2 6 (
- 1) 到曲线C 2 ,设点 P 是曲线C 2 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值. 4
7. 曲线 C ： ⎧x = c os
⎧ x =
曲线 D ： 2
t - 2 (t 。

⎨ y = sin ( 为参数） ⎨ ⎪ y = 2 t ⎩ 2
为参数）
（1） 指出曲线 C 、D 分别是什么曲线？并说明曲线 C 与 D 公共点人的个数。

（2） 若把曲线 C 、D 上各点的纵坐标压缩为原来的 1
倍，分别得到曲线 C1、D1，请
2
写出曲线 C1、D1 的参数方程，说明其公共点的个数和曲线 C 、D 公共点是否相同？ 2、普通方程化为参数方程
8. 直线l 过点 P (1,1) ，倾斜角
= ，（1）写出l 的参数方程；
6
（2）直线l 与圆
⎧x = 2 cos 为参数）相交于 A 、B 两点，求| PA | | PB | 。

⎨
y = 2 s in ( x 2 2
9. 点P(x,y) 为椭圆
+ y 3
= 1上一点，求（1） S = x + y 的范围；
（2）若 x + y + a ≥ 0 垣成立，求 a 的范围。

2
⎪
2 3 ⎨ ⎨ y = 2 + t ⎩
题型三、利用参数方程求值域 10、在曲线C ：
⎧x = 1 + cos 为参数）上求一点，使它到直线C ：
⎧x = -2 1
⎨
⎩ + 1 t y = sin
( 2
⎪ 2 (t 为参数）距离最小，并求出该点坐标和最小距离。

1 P （1- 2 ，- 2 ）
⎨
⎪ y = 1- 1 t
⎩ 2
2 2
x 3 t 2
11、曲线 C 的极坐标方程是
2 s in
，设直线 L 的参数方程是 5 y 4 t 5
, （ t 为 参数）．（Ⅰ）将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
x 2 y 2 2 y 0
（Ⅱ）设直线 L 与 x 轴的交点是 M ， N 曲线 C 上一动点，求 MN 题型四：直线参数方程中的参数的几何意义
的最大值
+1
12、已知直线 l 经过点 P (1,1) ,倾斜角
= ，①写出直线 l 的参数方程;
6
②设 l 与圆 x 2 + y 2 = 4 相交与两点 A , B ，求点 P 到 A , B 两点的距离之积. 2
⎧
x = 1+ 4 t 13、求直线⎪ 5
（
t 为参数）被曲线= 3 2 cos(+ 4 所截的弦长. 7 5
⎪ y = -1- t ⎩ 5
14 直线⎧x = 1+ 2t
(t 为参数) 被圆 x 2 + y 2 = 9 截得的弦长为
⎩
15 曲线C 的参数方程为
⎧x = cos
C 上所有点的横坐标伸长为
1
⎨
y = sin （ 为参数），将曲线
1 原来的
2 倍，纵坐标伸长为原来的 倍，得到曲线C 2 .以平面直角坐标系 xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
l : (cos - 2 sin ) = 6 .（1）求曲线C 2 和直线l 的普通方程；（2） P 为曲线C 2 上任
意一点，求点 P 到直线l 的距离的最值.
5 ) ⎪。