极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳
题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。

方法如下：
{22222
cos sin tan (0x y x y x y
y
x x ραρα
ρρθ==⎧=++⎪⎨=≠+⎪⎩
−−−−−−−→
←−−−−−−−或(1)极坐标方程直角坐标方程
2
2
1θθ=−−−−−−−−−−−−→←−−−−−−−−−−−−消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程
(2)参数方程直角坐标方程 −−→−−→←−−←−−
(3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程
1、已知直线l 的参数方程为
11233x t y t ⎧
=+⎪
⎨
⎪=⎩
（t 为参数）
以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0
θρθ=.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线
l
与曲线C 交点的一个极坐标.
题型二：三个常用的参数方程及其应用 （1）圆
222
()()x a y b r -+-=的参数方程是：
cos sin ()x a r y b r θ
θθ
=+⎧⎨
=+⎩为参数
（2）椭圆
22
221(0,0,)x y a b a b a b
+=>>≠的参数方程是：
cos ,()sin x a y b θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数
（3）过定点0
(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：
00cos ,()sin x x t t y y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩为参数
对（3）注意： P 点所对应的参数为0
t
=，记直线
l
上任意两点,A B 所对应的参数分别为1
2
,t t ，则①
12
AB t t =-,②
1212121212,0
,0
t t t t PA PA t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨
-⋅<⎪⎩，
③1
212
PA PA t
t t t ⋅=⋅=⋅
2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为
cos 2sin x a t
y t
=⎧⎨
=⎩ （t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为极点，
以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l
的极坐标方程为cos 24
πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭
（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.
3、已知曲线1
C ：12cos 4sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩
（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2
C 的极坐标方程为3cos()
3
ρπ
θ=
+，点Q 的极坐
标为(4
2,)
4
π
．
（1）将曲线2
C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标；
（2）设P 为曲线1
C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2
C 上
的点的距离的最小值．
4、已知直线l ：11232
x t y t ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1
C ：cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩
（θ为参数）.
（1）设l 与1
C 相交于两点,A B ，求||AB ；
（2）若把曲线1
C 上各点的横坐标压缩为原来的1
2
32
C ，设
点P 是曲线2
C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.
5、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线
3:sin x C y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
2cos()124
π
ρθ+=-．
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1
l 交C 于,A B
两点，求弦AB 的长．
6、面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为
⎩⎨⎧x ＝5 cos α，y ＝sin α
（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋ π
4
)=2．l 与C 交于
A 、
B 两点.
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P (0,－2),求：① |PA |＋|PB |，②
PA PB
⋅,③
11
PA PB
+,④AB
题型三：过极点射线极坐标方程的应用
出现形如：（1）射线OP ：6πθ=（0ρ≥）；（1）直线OP ：6
π
θ=
（R ρ∈） 7、在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
22((1)9
x y -++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线OP ：6πθ=（R ρ∈）与圆C 交于点M 、N ，求线段MN 的长．
8、在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
5cos (65sin x y α
αα
=⎧⎨
=-+⎩为参数), 以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程为0
θα=，其中0
α满足
05tan l α=
与C 交于,A B 两点，求AB 的值.
9、在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的
极坐标方程为2
6cos 50
ρρθ-+=．
（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；
（Ⅱ）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y
+的取值范围．
10、在直角坐标系中xOy 中，已知曲线E 经过点
23P ⎛ ⎝⎭
，其参数方程为
cos 2x a y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线E 的极坐标方程；
（2）若直线l 交E 于点A B 、，且OA OB ⊥，求证：2
2
11OA
OB
+
为定值，并求出这个定值．
11、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1
C 和2
C 的参数
方程分别是
244x t y t
⎧=⎨
=⎩（t 是参数）和cos ,
1sin x y ϕϕ
=⎧⎨
=+⎩
（ϕ为参
数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线1
C 的普通方程和曲线2
C 的极坐标方
程；
（2）射线:OM ([,])64
ππ
θαα=∈与曲线1
C 的交点为O ，P ，与曲线2
C 的交点为O ，Q ，求||||OP OQ ⋅的最大值.。