《平面向量》单元测试卷
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ） A 、→
-→-BA AB 与的长度相等； B 、零向量与任何向量都共线； C 、只有零向量的模等于零；
D 、共线的单位向量都相等。

2．；；④；③∥；②是单位向量；①是任一非零向量，若1|b |0|a |b a |b ||a |b a ±=>>→
→
→
→
→
→
→
→
），其中正确的有（
⑤
→
→
→
=b a a
|
| A 、①④⑤
B 、③
C 、①②③⑤
D 、②③⑤
3．首尾相接能，，；命题乙：把命题甲：是任意三个平面向量，，，设→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=++c b a 0c b a c b a 围成一个三角形。

则命题甲是命题乙的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、非充分也非必要条件 4．）
的是（下列四式中不能化简为→
-AD A 、→
-→
-→
-++BC CD AB ）（
B 、）（）（→
-→-→-→-+++CD BC MB AM C 、）
（）（→
-→
-→
-→
--++CB AD AB AC
D 、→
-→-→-+-CD OA OC
5．）
，则（），（，），（设21b 42a -=-=→
→
A 、共线且方向相反与→
→
b a B 、共线且方向相同与→
→
b a C 、不平行与→→
b a
D 、是相反向量与→
→
b a
6．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重
心，则下列各等式中不成立的是（ ）
A 、→-→
-=
BE 3
2BG B 、→-→
-=
AG 2
1DG C 、→
-→--=FG 2CG
D 、→-→-→-=+BC 2
1FC 32DA 31
图1
7．）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=
→→→
→θθθb a 4
1
cos 1b cos 12a
A 、
4
π
B 、
6
π
C 、
3
π
D 、3
6π
π或 8．）
所成的比是（分，则所成比为分若→
-→
--CB A 3AB C A 、2
3
-
B 、3
C 、3
2-
D 、-2
9．）
的范围是（的夹角与，则若θ→
→
→
→<⋅b a 0b a A 、)2
0[π
，
B 、)2
[ππ
，
C 、)2
(ππ
，
D 、]2
(ππ
，
10．→
→
→
→
→
→
→
→
b a 4a b 3b a b a 的模与，则方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设 的模之比值为（ ） A 、4
3
B 、3
4 C 、7
3 D 、7
4
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 11．。

的取值范围是都是单位向量，则与若_________|b a |b a →
→→→-
12．。

表示和，则用中，△_________AD AC AB BC 3
1BD ABC ==→-→-→-→
-→
-
13．，则，和，两点的坐标分别为、相等，且与，若，设)23()21(B A AB a )4y 3x 3x (a →
-→→--+= x= 。

14．。

，则，是共线向量，与设_________b a 5|b |3|a |b a →
→→
→
→
→
⋅== 三、解答题：本题共4小题，每题10分，共40分 15．已知),sin 32),4
(cos(),cos ),4sin(
2(x x b x x a -=-=π
π记b a x f •=)(.
（1）求)(x f 的周期和最小值；
（2）若)(x f 按m 平移得到x y 2sin 2=，求向量m .
16．已知a 、b 是两个不共线的向量，且a =（cos α，sin α）, b =（cos β，sin β） （Ⅰ）求证：a +b 与a －b 垂直； （Ⅱ）若α∈（4
,4π
π-），β=4
π
，且|a +b | =
5
16
，求sin α.
17．设12121211222，32，其中且 1.a e e b e e e e e e e e →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=-+⊥⋅=⋅= （1）计算||的值；a b →
→
+
（2）当为何值时与3互相垂直？k k a b a b →
→
→
→
+-
18．已知向量a→＝(cos 3
2
x，sin
3
2
x)，b→＝(cos
x
2
，－sin
x
2
)，其中x∈[0，
π
2
]
(1)求a→·b→及|a→＋b→|；(2)若f(x)＝a→·b→－2λ|a→＋b→|的最小值为－3
2
，求
λ的值
参考答案
一、1．D 2．B
3．B
4．C 5．A 6．B
7．A 8．A
9．D 10．A
二、11．［0，2］ 12．
→
→→
+=
AC 3
1AB 32AD 13．-1
14．±15
三、15．
16．解：（1）∵a =（4cos α，3sin α），b =（3cos β，4sin β）
∴|a | = |b | =1
又∵（a +b ）·（a －b ）=a 2－b 2=|a |2－|b |2 = 0 ∴（a +b ）⊥（a －b ）
（2）|a +b |2 =（a +b ）2 = |a |2 +|b |2 +2a ·b = 2 + 2·a ·b =
5
16 又a ·b =（cos βαβαsin sin cos +）=5
3
∴5
3)cos(=-βα ∵)4
,4(π
πα-∈ ∴2
π
-
＜βα-＜0 ∴sin（βα-）=5
4- ∴sin ])sin[(ββαα+-= = sin （βα-）·cos ββαβsin )cos(⋅-+ =10
2
22532254-
=⨯+⨯
-
17．解：
.
19k 0133k 31k 50b 3a b a k 1
43e 2e 3e 2e b a 13
e 2e 3b 5
e 2e a
b
3b a k 31a
k b 3a b a k 2.
5220|b a |20
|b a |.
1|e ||e |.0e e .1e e e e e e e 16e e 16e 4e 4e 2|b a |1212122122
212
2
2221212221212
2
21212
212==⨯--+=-⋅+∴=+-=+-⋅+=⋅=+-==+=-⋅-+=-⋅+==+∴=+∴===⋅∴=⋅=⋅⊥+⋅-=+-=+→
→
→
→
→
→
→
→→
→→
→
→
→
→
→→
→
→→→
→
→
→
→
→
→→
→
→
→
→→
→
→
→→
→
→
→
→→
→
→
→
→
得）（即）（）由（）（）（）（）（又）（）（）（）（，又）（）（
18．解：(1)a →·b →＝cos 32xcos x 2－sin 32xsin x 2＝cos 2x ，|a →＋b →|＝2＋2cos 2x ＝
2cosx
(2)f (x )＝a →·b →－2λ|a →＋b →|＝cos 2x －4λcosx ＝2cos 2x －1－4λcosx ＝2(cosx －λ)2－2λ2－1
注意到x ∈[0，π
2]，故cosx ∈[0，1]，若λ＜0，当cosx ＝0时f (x )取最小值－
1。

不合条件，舍去. 若0≤λ≤1，当cosx ＝λ时，f (x )取最小值－2λ2－1，令－2λ2－1＝－32且0≤λ≤1，解得λ＝1
2， 若λ＞1，当cosx ＝1时，f (x )取
最小值1－4λ， 令1－4λ＝－32且λ＞1，无解综上：λ＝1
2
为所求.。