平面向量单元测试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．向量a =（1，－2），向量a 与b 共线，且|b |=4|a |．则b =（ ）
A ．（－4，8）
B ．（－4，8）或（4，－8）
C ．（4，－8）
D ．（8，4）或（4，8）
2．已知a=（2，1），b =（x ，1），且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于（ ）
A ．10
B ．－10
C ．2
D ．－2
3．已知向量a 和b 满足|a |=1，|b |=2，a ⊥（a －b ）．则a 与b 的夹角为（ ） A ．30º B ．45º C ．75º D ．135º
4．设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量 a =3e 1＋5e 2与向量b =m e 1－3e 2共线，
则m 的值等于（ ）
A ．－ 53
B ．－ 95
C ．－ 35
D ．－ 59
5．设□ABCD 的对角线交于点O ，AD → =（3，7），AB → =（－2，1），OB → =（ ）
A ．（ －52 ，－3）
B ．（52 ，3）
C ．（1，8）
D ．（1
2 ，4） 6．设a 、b 为两个非零向量，且a ·b =0，那么下列四个等式①|a |=|b |；②|a ＋b |=|a －b |； ③a ·（b ＋a ）=0；④（a ＋b ）2=a 2＋b 2．其中正确等式个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．下列命题正确的是（ ）
A ．若→
a ∥→
b ，且→
b ∥→
c ，则→
a ∥→
c B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等
D ．若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线
8．a =），（21-，b =），（1-1，c =），（2-3用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为（ ）
A ．p =4 q =1
B ． p =1 q =4
C ． p =0 q =4
D ． p =1 q =0
9．设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB
→ －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
10．设()()2211,,,y x b y x a ==定义一种向量积()()().,,,21212211y y x x y x y x b a =⊗=⊗已知
,0,3,21,2⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πn m 点()y x P ,在x y sin =的图象上运动，点Q 在()x f y =的图象上运动，且满足
()，为坐标原点
其中O n OP m OQ +⊗=则()x f y =的最大值A 及最小正周期T 分别为（ ） A ．π，2 B ．，
2π4 C ．,21π4 D ．π，2
1
二、填空题：每小题5分，共25分．
11．已知()2,1,10==b a ，且b a //，则a 的坐标为_______ 12．已知向量a 、b 满足
a
=b =1，b a 23-=3，则 b a +3 =
13．已知向量a =（ 2 ，－ 2 ），b =（ 3 ，1）那么（a ＋b ）·（a －b ）的值是 ． 14．若a =（2，3），b =（－4，7），a ＋c =0，则c 在b 方向上的投影为 ．
15．若对n 个向量 a 1，a 2，a 3，…，a n ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1 a 1＋k 2a 2
＋…＋k n a n =0成立，则称a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依此规定，能使a 1=（1，0），a 2=（1，
－1），a 3=（2，2）“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3 依次可以取 ． 三、解答题
16．（本题满分13分）已知向量a =(sin 2x ，cos 2x)，b =(sin 2x ，1), )(x f )=8a ·b ．
（1）求)(x f 的最小正周期、最大值和最小值．
（2）函数y=)(x f 的图象能否经过平移后，得到函数y=sin4x 的图象，若能，求出平移向量m ；若不能，则说明理由．
17．（本题满分12分）
在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知2
2
2a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b .
18．（本题满分13分）如图，在矩形ABCD 中，，，22==BC AB 点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，
若，
2=
⋅AF AB 求BF AE ⋅的值.
19． （本题满分12分）
已知向量OA
→ =3i －4j ，OB → =6i －3j ，OC → =（5－m ）i －（4＋m ）j ，其中i 、j 分别是直角
坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量．
（1）若A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ΔABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．
20．（本题满分12分）已知向量.1,4
3),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为
与向量向量π
（1）求向量n ； （2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈，
若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.
21． （本题满分13分）已知向量a 、b 、c 、d ，及实数x 、y ，且|a |=1，|b |=1，c =a ＋（x 2－3）b ，
d =－y a ＋x b ，如果a ⊥b ，c ⊥d ，且|c |≤10 ．
（1）求x 、y 的函数关系式y =f （x ）及定义域；
（2）判断f （x ）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值．
E
C
A B
D
F
答案
一、选择题
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.C
7.C
8.B
9. B 10. D 二、填空题
11．）
，），（（22-2-22,2 12．23 13．0 14.－ 65
5
15．－4，2，1 . 16.解：（1）f(x)=8a ·b =8(sin 2x ，cos 2x)·(sin 2x ，1) = 8(sin 4x ＋cos 2x)= 2(1－cos2x)2＋4(1＋cos2x) =2(1－2cos2x ＋cos 22x)＋4＋4cos2x =6＋2cos 22x=7＋cos4x ．
∴f(x)的最小正周期为最大值为8，最小值为6．
（2）
假设它的图象可以按向量m =(h,k)平移后得到y=sin4x 的图象．
故按向量
平移后便得到y=sin4x 的图象．
17．3
8
18．略
19. （1）AB → =（3，1） ，AC → =（2－m ，－m ），AB → 与AC →
不平行则m ≠1 .
（2）AB → · AC → =0 m =2
3
20．解：（1）令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21
),(2
2y x y x y x y x y x n 或则π )1,0()0,1(-=-=∴n n 或 3分
（2）)1,0(0
),0,1(-=∴=⋅=n a n a 4分
)1sin ,,(cos -=+x x b n 6分
b n +=222)1(sin cos -+x x =x sin 22-=)sin 1(2x -； 8分
∵ ―1≤sinx ≤1, ∴ 0≤
b n +≤2, 10分
21. 提示：（1） 由 |c |≤10 ，及a ·b = 0得 －6≤ x ≤6 又由c ⊥d 得 y =x 3－3x
（2）单调增区间为[－6，－1]、[1，6]，单调减区间为[－1，1] 最大值为f （6）=36,最小值为f （－6）=－36 .。