x2)=a(x1+x2)（x1-x2）+b(x1-x2)= （x1-x2）[a(x1+x2)+b]= 0
∵ x1 ≠ x2
∴a(x1+x2)+b=0
∴x1+x2= b 2a =2 （故⑤正确） aa
故选 D． 考点：二次函数图像与系数的关系.
4．如图，二次函数 y ax2 bx c 0a 0的图象与 x 轴正半轴相交于 A 、 B 两点，
A． 5
B． 4 5 3
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
过 B 作 BF⊥OA 于 F，过 D 作 DE⊥OA 于 E，过 C 作 CM⊥OA 于 M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA， ∴BF∥DE∥CM． ∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA= 1 OA=2． 2
由勾股定理得：DE= 5 ．
D． 4 个
【分析】
由二次图像开口方向、对称轴与 y 轴的交点可判断出 a、b、c 的符号，从而可判断①；由
图像可知当 x＝3 时，y＜0，可判断②；由 OA＝OC，且 OA＜1，可判断③；把﹣ 1 代入 a
方程整理得 ac2－bc＋c＝0，结合③可判断④；从而得出答案.
【详解】
由图像开口向下，可知 a＜0，与 y 轴的交点在 x 轴的下方，可知 c＜0，又对称轴方程为 x
有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．2 个 【答案】B 【解析】
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线 x=1，∴ b 2a
=1，∴b=﹣2a＞0，∵与 y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误； 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确； ∵与 x 轴交于点 A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣
∴函数 y＝ 的图象在第二、第四象限，
故选 B． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键．
2．一列自然数 0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以 100，得到 一列新数．则下列结论正确的是（ ） A．原数与对应新数的差不可能等于零 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于 21 时，原数等于 30 D．当原数取 50 时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】
且 x1 ≠ x2 ，则 x1 x2 ＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．②④
C．②⑤
D．②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后
根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断
【详解】
B． 5 2
C． 5 2
D．－5
【分析】
根据二次函数的对称性，求得函数 y ax2 bx 5 (a 0) 的对称轴，进而判断与 x 8 的
函数值相等时 x 的值，由此可得结果．
【详解】
∵函数 y ax2 bx 5 (a 0) ，当 x 1 与 x 7时函数值相等，
∴函数 y ax2 bx 5 (a 0) 的对称轴为： x 1 7 4 ， 2
解得 m1 ＝30， m2 ＝70，则 C 错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字
规律转化为数学符号．
3．二次函数 y ＝ ax2 bx c （ a ≠0）图象如图所示，下列结论：① abc ＞0；② 2a b
＝0；③当 m ≠1 时， a b ＞ am2 bm ；④ a b c ＞0；⑤若 ax12 bx1＝ ax22 bx2 ，
解：抛物线的开口向下，则 a＜0；
抛物线的对称轴为 x=1，则- b =1，b=-2a 2a
∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交 y 轴于正半轴，则 c＞0；
由图像知 x=1 时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当 m≠1 y= am2 bm +c 不是
顶点纵坐标，不是最大值
∴ a b ＞ am2 bm （故③正确）
＝2，∴﹣ b ＞0，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图像可知当 x＝3 时，y＞0，∴9a＋ 2a
3b＋c＞0，故②错误；由图像可知 OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，故③正
确；假设方程的一个根为 x＝﹣ 1 ，把﹣ 1 代入方程，整理得 ac2－bc＋c＝0， 即方程有一
a
a
2a b c 4a c 0 ，故③错误；
④对称轴为直线 x 1 ，抛物线与 x 轴一个交点 3 x1 2 ，则抛物线与 x 轴另一个交
点 0 x2 1 ，当 x 1 时， y a b c 0 ，故④正确．
【详解】
解：①∵抛物线与 x 轴由两个交点，
∴ b2 4ac 0 ，
3a≤4，∴﹣ 4 ≤a≤﹣1，故③正确； 3
∵顶点坐标为（1，n），∴当 x=1 时，函数有最大值 n，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴ a+b≥am2+bm，故④正确；
一元二次方程 ax2 bx c n 有两个相等的实数根 x1=x2=1，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是②③④共 3 个．故选 B． 点睛：本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方 向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表
反比例函数 y= b 图象分布在第二、四象限， x
故选 D． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关 键．
7．函数 y ax2 bx 5 (a 0) ，当 x 1与 x 7时函数值相等，则 x 8 时，函数值等
于( )
A．5
【答案】A 【解析】
：b＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc＜0 （故①错误） 由图知：当 x=-1 时，y＜0；即 a-b+c＜0，b＞a+c；（故④错误）
⑤若 ax12 bx1＝ ax22 bx2 得 ax12 bx1 -( ax22 bx2 )= ax12 bx1 -ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-
即 b2 4ac ，
所以①正确；
②由二次函数图，
故②错误；
③∵对称轴：直线 x b 1， 2a
∴ b 2a ， ∴ 2a b c 4a c ， ∵ a 0 ， 4a 0 ， c0，a0， ∴ 2a b c 4a c 0 ，
设 P（2x，0），根据二次函数的对称性得出 OF=PF=x， ∵BF∥DE∥CM， ∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
∴ BF OF ，CM AM ，即 BF x ，CM 2 x ，解得：
DE OE DE AE
52 5 2
BF 5 ?x，CM 5 2 x ．
2
2
∴BF+CM= 5 ．
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与 x 轴由两个交点，则 b2 4ac 0 ，即 b2 4ac ，所以①正确；②由二次函
数图象可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以 abc 0 ，故②错误；
③对称轴：直线 x b 1， b 2a ，所以 2a b c 4a c ， 2a
个根为 x＝﹣c，由②知﹣c＝OA，而当 x＝OA 是方程的根，∴x＝﹣c 是方程的根，即假设
成立，故④正确.故选 C.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次
函数的相关知识是解答此题的关键.
5．二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，下列结论① b2 4ac ， ② abc 0 ，③ 2a b c 0 ，④ a b c 0．其中正确的是（ ）
人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案 一、选择题
1．已知抛物线 y＝x2+2x﹣m﹣1 与 x 轴没有交点，则函数 y＝ 的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可求 m＜﹣2，即可求解． 【详解】 ∵抛物线 y＝x2+2x﹣m﹣1 与 x 轴没有交点， ∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0 ∴m＜﹣2
∴ x 8 与 x 0 的函数值相等，
∴当 x 8 时， y ax2 bx 5 a 0 b 0 5 5 ，
即 x 8 时，函数值等于 5 ， 故选： A ．
【点睛】 本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题 的关键．
8．将抛物线 y＝x2﹣4x+1 向左平移至顶点落在 y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线 y＝ ﹣3 和 x 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分）是（ ）
解：设原数为 m，则新数为 1 m2 ， 100
设新数与原数的差为 y
则 y m 1 m2 1 m2 m ，
100
100
易得，当 m＝0 时，y＝0，则 A 错误
∵ 1 0 100
m ﹣ b ﹣ 1 50
当
2a
2
﹣1010
时，y 有最大值．则 B 错误，D 正确．
当 y＝21 时， 1 m2 m ＝21 100