2019-2020学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题）.1．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是()A．B．C．D．2．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，73．如图，ABCAD=，则BC的AB=，3=，AD是BAC∠的平分线，已知5∆中，AB AC长为()A．10B．8C．5D．44．如图，Rt ABC∠=∠，10AB=，则CD的ACB∠=︒，点D在AB上，且DCA A∆中，90长为()A．4B．4.5C．5D．65．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC CD DE∠∠=︒，则CDE==，点D、E可在槽中滑动．若75BDE的度数是()A．60︒B．65︒C．75︒D．80︒6．如图，ABC∆中，C、C'关于AB对称，B、B'关于AC对称，D、E分别在AB、AC上，且////C D BC B E ''，BE ，CD 交于点F ，若BFD α∠=，A β∠=，则α与β之间的关系为( )A ．2180βα+=︒B ．2αβ=C ．52αβ=D ．51802αβ=︒- 二、填空题（每题2分，共10题，共20分）7．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 ．8．如图，12∠=∠，要利用“SAS ”说明ABD ACD ∆≅∆，需添加的条件是 ．9．如图，ABC ADE ∆≅∆，若35C ∠=︒，75D ∠=︒，25DAC ∠=︒，则BAD ∠= ︒．10．在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若4CD =，则点D 到斜边AB 的距离为 ．11．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，55A ∠=︒，将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处，折痕为CD ，则A DB ∠'的度数为 ．12．如图，在ABCAE=，∠=︒，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，5C∆中，90CE=，线段CB的长为．313．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：．14．正方形ABEF的位置如图，90∆的面积为．BC=，则EBCACB∠=︒，215．如图，在ABCAE=，90BAE∠=︒，则CE的长==，E在边BC上且3AB AC∆中，4为．16．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75︒，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为2m，梯子倾斜角为45︒，这间房子的宽度是（用含a的代数式表示）．三、解答题（共10小题，共68分）17．如图，等腰ABC∆如图放置，顶角的顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m的垂线，垂足分别为E、D，且AE CD=．（1）求证：AEC CDB∆≅∆；（2）若设AEC∆的三边长分別为a、b、c，利用此图证明勾股定理．18．如图，网格中的ABC∆是轴对称图形．∆和DEF（1）利用网格线，作出ABC∆的对称轴l；∆和DEF（2）结合所画图形，在直线l上找点G，使GA GC+最小；（3）如果每个小正方形的边长为1，则ABC∆的面积为；（4）在图中到EF、BC的距离相等的格点有个．19．在正方形中有一条线段，请再添加一条线段，使得图形是一个轴对称图形．（要求：画出示意图，并作出对称轴）20．求证：等腰三角形两底角相等．21．已知，如图，1AC BC BD ===，3AD =，求ABD ∆的面积．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．23．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽6=．BC cmAB cm=，长10（1）求EC的长；（2）在折痕AE上存在一点P到边CB的距离与到点D的距离相等，则此相等距离为．24．在ABC∆中，D为BC边上一点．（1）如图①，在Rt ABC∆沿着AD折叠，点C落在AB边上．请∠=︒，将ABC∆中，90C用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将ABC∆沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．①若DE AB⊥，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；②若22AB=，3∠=︒，求CD的取值范围．BBC=，4525．已知如图，//AB CD．（1）如图1，BE平分ABD⊥．∠交CD于E，点F为BE中点，连接DF．求证：DF BE （2）如图2，BF平分ABD∠交AC的中点F，点E在线段BD上（不包括两端点），连接EF，请问：点E在何处时，2+=？并证明你的结论．AB CD EF26．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB AD=，CB CD=，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC BD⊥．试证明：2222+=+；AB CD AD BC（3）解决问题：如图3，ACB⊥且ACB=，AB AE∆中，90∠=︒，AC AG⊥且AC AG =，连结CE、BG、GE．已知4AE ABAB=，求GE的长．AC=，5参考答案一、选择题（每题2分，共6题，共12分）1．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D ．2．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )A ．3，4，4B ．3，4，5C ．3，4，6D ．3，4，7解：A 、因为222344+>，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B 、因为222345+=，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C 、因为346+>，且222346+<，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D 、因为347+=，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C ．3．如图，ABC ∆中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，已知5AB =，3AD =，则BC 的长为( )A ．10B ．8C ．5D ．4解：AB AC =Q ，AD 是BAC ∠的平分线，AD BC ∴⊥，BD CD =，5AB =Q ，3AD =，224BD AB AD ∴=-=，28BC BD ∴==，故选：B ．4．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 上，且DCA A ∠=∠，10AB =，则CD 的长为( )A ．4B ．4.5C ．5D ．6解：Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，90DCA DCB ∴∠+∠=︒，90B A ∠=∠=︒，DCA A ∠=∠Q ，DCB B ∴∠=∠，DC DA =， 152DC DB DA AB ∴====， 故选：C ．5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动、C 点固定，OC CD DE ==，点D 、E 可在槽中滑动．若75BDE ∠=︒，则CDE ∠的度数是( )A ．60︒B ．65︒C ．75︒D ．80︒解：OC CD DE ==Q ，O ODC ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，2DCE O ODC ODC ∴∠=∠+∠=∠，375O OED ODC BDE ∠+∠=∠=∠=︒Q ，25ODC ∴∠=︒，180105CDE ODC BDE ∠+∠=︒-∠=︒Q ，10580CDE ODC ∴∠=︒-∠=︒． 故选：D ．6．如图，ABC ∆中，C 、C '关于AB 对称，B 、B '关于AC 对称，D 、E 分别在AB 、AC 上，且////C D BC B E ''，BE ，CD 交于点F ，若BFD α∠=，A β∠=，则α与β之间的关系为( )A ．2180βα+=︒B ．2αβ=C ．52αβ=D ．51802αβ=︒- 解：在ABC ∆中，A β∠=Q ，180ABC ACB β∴∠+∠=︒-，////C D BC B E ''Q ，ABC C DB ∴∠=∠'，ACB B EC ∠=∠'，C Q 、C '关于AB 对称，AB ∴垂直平分线段CC '，C DB CDB ∴∠'=∠，同理B EC BEC ∠'=∠，180CDB BEC β∴∠+∠=︒-，180ADC CDB ∠+∠=︒Q ，180AEB BEC ∠+∠=︒，180ADC AEB β∴∠+∠=︒+，360ADE A AEB DFE ∠+∠+∠+∠=︒Q ，180DFE α∠=︒-，180180360ββα∴︒+++︒-=︒，2αβ∴=，故选：B ．二、填空题（每题2分，共10题，共20分）7．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 稳定性 ．解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．8．如图，12∠=∠，要利用“SAS ”说明ABD ACD ∆≅∆，需添加的条件是 CD BD= ．解：添加CD BD =，12∠=∠Q ，CDA BDA ∴∠=∠，在ADC ∆和ADB ∆中AD AD ADC ADB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴∆≅∆，故答案为：CD BD =．9．如图，ABC ADE ∆≅∆，若35C ∠=︒，75D ∠=︒，25DAC ∠=︒，则BAD ∠= 45 ︒．解：ABC ADE ∆≅∆Q ，75D ∠=︒，75D B ∴∠=∠=︒，又35C ∠=︒Q ，70BAC ∴∠=︒，又25DAC ∠=︒Q ，45BAD ∴∠=︒，故答案为：45．10．在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若4CD =，则点D 到斜边AB 的距离为 4 ．解：如右图，过D 点作DE AB ⊥于点E ，则DE 即为所求，90C ∠=︒Q ，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，CD DE ∴=（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， 4CD =Q ，4DE ∴=．故答案为：4．11．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，55A ∠=︒，将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处，折痕为CD ，则A DB ∠'的度数为 20︒ ．解：Rt ABC ∆Q 中，90ACB ∠=︒，55A ∠=︒，将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处，折痕为CD ，90905535B A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，A CA D ∠=∠'，CA D B A DB ∠'=∠+∠'Q ，5535A DB ∴︒=︒+∠'，20A DB ∴∠'=︒．故答案为：20︒．12．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，5AE =，3CE =，线段CB 的长为 4 ．解：连接BE ，AB Q 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，5AE =，5BE AE ∴==，在Rt ECB ∆中，由勾股定理得：2222534CB BE CE =-=-=，故答案为：4．13．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： 13、84、85 ．解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，⋯，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x ，第三个数为1x +， 根据勾股定理的逆定理，得：13的平方x +的平方(1)x =+的平方，解得84x =． 则得第6组数是：13、84、85．故答案为：13、84、85．14．正方形ABEF 的位置如图，90ACB ∠=︒，2BC =，则EBC ∆的面积为 2 ．解：如图，过点E 作EF BC ⊥，交CB 的延长线于F ，Q 四边形ABEF 是正方形，AB BE ∴=，90ABE ∠=︒，90ABC EBF ∴∠+∠=︒，且90ABC BAC ∠+∠=︒，EBF BAC ∴∠=∠，且AB BE =，90EFB ACB ∠=∠=︒，()ABC BEF AAS ∴∆≅∆2BC EF ∴==，1122222EBC S BC EF ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：215．如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，E 在边BC 上且3AE =，90BAE ∠=︒，则CE 的长为 1.4 ．解：过A 作AD BC ⊥，3AE =Q ，90BAE ∠=︒，4AB AC ==， 2222345BE AB AE ∴=+=+=，125AB AE AD BE ∴==g ， 90ADE ∠=︒Q ，22221293()55DE AE AD ∴=-=-=， 222212164()55CD AC AD ∴=-=-=， 169 1.455CE ∴=-=， 故答案为：1.416．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75︒，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为2m ，梯子倾斜角为45︒，这间房子的宽度是 a （用含a 的代数式表示）．解：过N 点作MA 垂线，垂足点D ，连接NM ．由题意得AB ND =，CNM ∆为等边三角形(180457560︒-︒-︒=︒，梯子长度相同）， 75ACM ∠=︒Q ，15AMC ∴∠=︒．75AMN ∴∠=︒，在MND ∆中，sin 75ND MN =⨯︒，．在MAC ∆中，sin 75AM MC =⨯︒，MN MC =Q ，ND MA a ∴==．故答案为a ．三、解答题（共10小题，共68分）17．如图，等腰ABC ∆如图放置，顶角的顶点C 在直线m 上，分别过点A 、B 作直线m 的垂线，垂足分别为E 、D ，且AE CD =．（1）求证：AEC CDB ∆≅∆；（2）若设AEC ∆的三边长分別为a 、b 、c ，利用此图证明勾股定理．【解答】（1）证明：90ACB ∠=︒Q ，90ACE BCD ∴∠+∠=︒．90ACE CAE ∠+∠=︒Q ，CAE BCD ∴∠=∠．在AEC ∆与BCD ∆中，CEA BDC CAE BCD AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CAE BCD AAS ∴∆≅∆．（2）解：由①知：CAE BCD ∆≅∆，BD CE aCD AE b ∴==== ()()12AEDB S a b a b∴=++梯形 221122a ab b =++． 又AEC BCD ABC AEDB S S S S ∆∆∆=++Q 梯形2111222ab ab c =++ 212ab c =+． ∴222111222a ab b abc ++=+． 整理，得222a b c +=．18．如图，网格中的ABC ∆和DEF ∆是轴对称图形．（1）利用网格线，作出ABC ∆和DEF ∆的对称轴l ；（2）结合所画图形，在直线l 上找点G ，使GA GC +最小；（3）如果每个小正方形的边长为1，则ABC ∆的面积为 3 ；（4）在图中到EF 、BC 的距离相等的格点有 个．解：（1）如图所示，直线l 即为ABC ∆和DEF ∆的对称轴；（2）如图所示，连接CD ，交l 于G ，连接AG ，则GA GC +最小，点G 即为所求；（3）ABC∆的面积111 241222143222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：3；（4）如图，延长EF，BC交于点H，根据角的轴对称性可得，到EF、BC的距离相等的格点在BHE∠的角平分线上，故符合题意的格点在直线l上，共8个．故答案为：8．19．在正方形中有一条线段，请再添加一条线段，使得图形是一个轴对称图形．（要求：画出示意图，并作出对称轴）解：如图所示：20．求证：等腰三角形两底角相等．【解答】已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =．求证：B C ∠=∠．证明：过点A 作AD BC ⊥于点D ，AB AC =Q ，AD BC ⊥，BD DC ∴=（等腰三角形三线合一）． 又90ADB ADC ∠=∠=︒Q ，AD 为公共边，()ABD ACD SAS ∴∆≅∆．B C ∴∠=∠．21．已知，如图，1AC BC BD ===，3AD =ABD ∆的面积．解：在Rt ACB ∆中，由勾股定理得：2222112AB AC BC =+=+=， Q 在ABD ∆中，2AB =，3AD =，1BD =，222AB BD AD ∴+=，90ABD ∴∠=︒，ABD ∴∆的面积是11221222AB BD ⨯⨯=⨯⨯=． 22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【解答】证明：（1）ABC ∆Q 为等边三角形，60A ABC C ∴∠=∠=∠=︒．//DE BC Q ，60AED ABC ∴∠=∠=︒，60ADE C ∠=∠=︒．ADE ∴∆是等边三角形．（2）ABC ∆Q 为等边三角形，AB BC AC ∴==．BD Q 平分ABC ∠，12AD AC ∴=． ADE ∆Q 是等边三角形，AE AD ∴=．12AE AB ∴=． 23．如图，折叠长方形纸片ABCD ，使点D 落在边BC 上的点F 处，折痕为AE ．已知该纸片宽6AB cm =，长10BC cm =．（1）求EC 的长；（2）在折痕AE 上存在一点P 到边CB 的距离与到点D 的距离相等，则此相等距离为 103．解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，10AD BC cm ∴==，6CD AB cm ==，90B C ∠=∠=︒，由折叠可知10AD AF cm ==，DE EF =90B ∠=︒Q222AB BF AF ∴+=，6AB cm =Q ，10AF cm =22221068()BF AF AB cm ∴=-=-=2FC BC BF cm ∴===，90C ∠=︒Q ，222EC FC EF ∴+=设EC x =，则6DE EF x ==-，222(6)2x x ∴-=+解得：83x =， 即EC 的长为83； （2）过P 作PG BC ⊥于G ，连接PD ，连接PF 、DF ，如图所示：由题意得：PD PG =，由折叠的性质得：AE 垂直平分DF ，PF PD ∴=，PF PG ∴=，∴点F 与G 重合，过P 作PH CD ⊥于H ，则90PHD ∠=︒，2PH CF ==，PF CH =，设PD y =，则PD PF CH y ===，6DH y =-，在Rt PHD ∆中，由勾股定理得：2222(6)y y +-=， 解得：103y =； 故答案为：103．24．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点．（1）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿着AD 折叠，点C 落在AB 边上．请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将ABC ∆沿着过点D 的直线折叠，点C 落在AB 边上的E 处． ①若DE AB ⊥，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）； ②若22AB =，3BC =，45B ∠=︒，求CD 的取值范围．解：（1）点D 如图所示．（作CAB ∠的角平分线即可）（2）①点D 如图所示．（过点C 作CE BC ⊥，交BA 的延长线于F ，作CFB ∠的角平分线即可）②如图②中，设CD DE x ==，则DE EB x ==，90DEB ∠=︒，2DB x =， 3BC =Q ，23x x ∴+=，323x ∴=-，如图③中，当E 与A 重合时，作AH CB ⊥于H ，设CD DE x ==，在Rt AHB ∆中，易知2AH HB ==，90AHB ∠=︒，1HD x =-，DE x =， 2222(1)x x ∴=+-， 52x ∴=， 综上可知，CD 的最大值为52，最小值为323-， 53232CD ∴-剟， 故答案为53232CD -剟． 25．已知如图，//AB CD ．（1）如图1，BE 平分ABD ∠交CD 于E ，点F 为BE 中点，连接DF ．求证：DF BE ⊥．（2）如图2，BF 平分ABD ∠交AC 的中点F ，点E 在线段BD 上（不包括两端点），连接EF ，请问：点E 在何处时，2AB CD EF +=？并证明你的结论．【解答】证明：（1）//AB CD Q ，ABE DEB ∴∠=∠，BE Q 平分ABD ∠，ABE DBE ∴∠=∠，DBE DEB ∴∠=∠，BD DE ∴=，且点F 是BE 的中点，DF BE ∴⊥；（2）当点E 在BD 中点时，2AB CD EF +=，延长BF ，交DC 的延长线于H ，Q点F是AC的中点，∴=，AF CFQ，AB CD//=，∠=∠，且AF CF∴∠=∠，ABF FHCBAF HCF∴∆≅∆，()ABF CHF AAS∴=，AB CHBF FH=，∴+=+=，AB CD HC CD HDQ，且点E在BD中点，=BF FGHD EF∴=，2∴+=．AB CD EF226．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB AD=，CB CD=，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC BD⊥．试证明：2222+=+；AB CD AD BC（3）解决问题：如图3，ACB⊥且⊥且AC AG=，AB AE∠=︒，AC AG∆中，90ACB=，连结CE、BG、GE．已知4AE ABAB=，求GE的长．AC=，5解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：连接AC，BD，Q，AB AD=∴点A在线段BD的垂直平分线上，=Q，CB CD∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴是线段BD的垂直平分线，AC∴四边形ABCD是垂美四边形；（2）AC BD⊥Q，∴∠=∠=∠=∠=︒，90AOD AOB BOC COD由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO+=+++，222222+=+++，AB CD AO BO CO DO2222∴+=+；AD BC AB CD故答案为：2222+=+；AB CD AD BC（3）90Q，CAG BAE∠=∠=︒∠=∠，CAG BAC BAE BAC∴∠+∠=∠+∠，即GAB CAE在GAB∆中，∆和CAEAG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GAB CAE SAS ∴∆≅∆，ABG AEC ∴∠=∠，又90AEC AME ∠+∠=︒， 90ABG AME ∴∠+∠=︒，即CE BG ⊥， ∴四边形CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，2222CG BE CB GE +=+， 4AC =Q ，5AB =，3BC ∴=，CG =，BE =， 222273GE CG BE CB ∴=+-=，GE ∴=．。