2014-2015学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二（上）期中数学试卷一、解答题（每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，x2+2ax+a＞0”的否定为．2．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣1，则抛物线的方程为．3．（5分）双曲线的渐近线方程为．4．（5分）“α=”是“tanα=1”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）5．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是．6．（5分）若椭圆+=1的离心率为e=，则实数m的值等于．7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．8．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是．9．（5分）已知点P是椭圆=1上一点，P到椭圆右焦点的距离为2，则点P到椭圆的左准线的距离为．10．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离为．11．（5分）过点（3，3）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4交于A、B两点，且AB=2，则直线l的方程是．12．（5分）已知点M与双曲线的左，右焦点的距离之比为2：3，则点M的轨迹方程为．13．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=4，则此抛物线的方程为．14．（5分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知命题p：“若方程+=1表示双曲线”；命题q：“关于x的方程x2+4x+m=0有实数根”．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m 的取值范围．16．（14分）已知直线l1：x+2y+1=0，l2：kx+y﹣k=0互相垂直．（1）求实数k的值；（2）求直线l1与l2的交点P的坐标．17．（14分）已知椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直．（1）求离心率和准线方程；（2）求△PF1F2的面积．18．（16分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．（1）求BC边所在直线方程；（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；（3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．19．（16分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（，0），右顶点为A（1，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）直线l经过双曲线C的右顶点A且斜率为k（k＞0），若直线l与双曲线C 的另一个交点为B，且•＞3（其中O为原点），求实数k的取值范围．20．（16分）已知抛物线y2=8x与椭圆+=1有公共焦点F，且椭圆过点D（﹣，）．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．2014-2015学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，x2+2ax+a＞0”的否定为∀x∈R，x2+2ax+a≤0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+2ax+a＞0”的否定为∀x∈R，x2+2ax+a≤0．故答案为：∀x∈R，x2+2ax+a≤0．2．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣1，则抛物线的方程为y2=4x．【解答】解：∵抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣1，∴抛物线的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．3．（5分）双曲线的渐近线方程为．【解答】解：由题意可知双曲线的焦点在y轴，且a2=16，b2=9，解之可得a=4，b=3，故渐近线方程为：y==故答案为：4．（5分）“α=”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【解答】解：时，tanα=1；tanα=1时，，所以不一定得到；∴是tanα=1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．5．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是x﹣2y﹣1=0．【解答】解：直线x﹣2y﹣2=0的斜率是，所求直线的斜率是所以所求直线方程：y=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0故答案为：x﹣2y﹣1=06．（5分）若椭圆+=1的离心率为e=，则实数m的值等于或10．【解答】解：由椭圆+=1当m＜5时，，c==，∴e===解得，m=，当m＞5时，a=，c==∴e===解得，m=10，故答案为：7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为4．【解答】解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的阴影部分由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y=0，可知把直线平移到A（2，2）时，Z最大，故z max=4．故答案为：4．8．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是﹣2≤a≤5．【解答】解：由|x﹣a|＜4得，a﹣4＜x＜a+4，即p：a﹣4＜x＜a+4．∵（x﹣1）（2﹣x）＞0，∴1＜x＜2，即q：1＜x＜2，若¬p是¬q的充分不必要条件，由命题的等价性可知：q是p的充分不必要条件，即q⇒p，且p⇒q不成立，则，即解得﹣2≤a≤5，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤5，故答案为：﹣2≤a≤5．9．（5分）已知点P是椭圆=1上一点，P到椭圆右焦点的距离为2，则点P到椭圆的左准线的距离为8．【解答】解：椭圆=1的a=4，b=，c==3，则设左右焦点为F，F'，则PF+PF'=2a=8，由P到椭圆右焦点的距离为2，则PF=8﹣2=6，由离心率e==，再由e==，（d为P到左准线的距离），即有d=8．故答案为：8．10．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离为1．【解答】解：由题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为：根据点到直线的距离公式，可得故答案为：111．（5分）过点（3，3）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4交于A、B两点，且AB=2，则直线l的方程是x=3或4x﹣3y﹣3=0．【解答】解：∵圆（x﹣2）2+y2=4的半径为2若AB=2，则圆心（2，0）到直线l距离d=1，若直线l的斜率不存在，即x=3，此时圆心（2，0）到直线l距离为1满足条件若直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y﹣3=k（x﹣3）即kx﹣y﹣3k+3=0则d==1解得k=此时直线l的方程为y﹣3=（x﹣3）化为一般式可得4x﹣3y﹣3=0综上直线l的方程是x=3或4x﹣3y﹣3=0故答案为：x=3或4x﹣3y﹣3=012．（5分）已知点M与双曲线的左，右焦点的距离之比为2：3，则点M的轨迹方程为x2+y2+26x+45=0．【解答】解：设点M的坐标为（x，y）∵双曲线的左，右焦点的坐标为C（﹣5，0），D（5，0）由=∴=化简得：x2+y2+26x+25=0故答案为x2+y2+26x+25=013．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=4，则此抛物线的方程为y2=3x．【解答】解：设直线AC的方程为ky=x﹣（k≠0）联合抛物线y2=2px消去y得x2﹣（1+2k2）px+=0∴x A x B=①依据抛物线的特性|AF|=x A+；|BF|=x B+，∴|CB|：|BF|=（x B+）：p=|CB|：|CF|=2：3∴x B=②∴①②联立求得x A=，∴|AF|=+=2p=3，∴抛物线方程y2=3x．故答案为：y2=3x．14．（5分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=0.5．【解答】解：由题意，C2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性可知以C1的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点，满足AB为圆的直径且AB=2a∵椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点，∴C1的半焦距c=，可得a2﹣b2=5，…①设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为C（m，2m），代入C1的方程，解得，…②由对称性可得直线y=2x被C1截得的弦长CD=2m，结合题意得2m=，所以，…③由②③联解，得a2=11b2…④再联解①④，可得得a2=5.5，b2=0.5故答案为：0.5二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知命题p：“若方程+=1表示双曲线”；命题q：“关于x的方程x2+4x+m=0有实数根”．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m 的取值范围．【解答】解：命题p：2﹣m＜0，∴m＞2；命题q：△=16﹣4m≥0，∴m≤4；若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假；∴；∴m＞4，或m≤2；∴实数m的取值范围为（﹣∞，2]∪（4，+∞）．16．（14分）已知直线l1：x+2y+1=0，l2：kx+y﹣k=0互相垂直．（1）求实数k的值；（2）求直线l1与l2的交点P的坐标．【解答】解：（1）两条直线的斜率分别为﹣，﹣k．∵两条直线相互垂直，∴，解得k=﹣2．（2）联立，解得．∴P．17．（14分）已知椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F 1、F2的连线互相垂直．（1）求离心率和准线方程；（2）求△PF1F2的面积．【解答】解：（1）椭圆+=1的a=7，b=2，c==5，则离心率e==，准线方程为：x=，即为x=；（2）由（1）知a=7，b=2，c=5，两个焦点F1 （﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得=﹣1，+=1，n2=，即有n=±，则△PF1F2的面积为S=×2c×|n|=×10×=24．18．（16分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．（1）求BC边所在直线方程；（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；（3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．【解答】解：（1）∵，AB⊥BC，∴，∴（3分）（2）在上式中，令y=0，得C（4，0），∴圆心M（1，0）又∵AM=3，∴外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9（7分）（3）∵P（﹣1，0），M（1，0）∵圆N过点P（﹣1，0），∴PN是该圆的半径又∵动圆N与圆M内切，∴MN=3﹣PN，即MN+PN=3（11分）∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆，∴，c=1，（13分），∴轨迹方程为（15分）19．（16分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（，0），右顶点为A（1，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）直线l经过双曲线C的右顶点A且斜率为k（k＞0），若直线l与双曲线C 的另一个交点为B，且•＞3（其中O为原点），求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（，0），右顶点为A （1，0），∴设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），且，解得a=b=1，∴双曲线C的方程为x2﹣y2=1．（2）∵直线l经过双曲线C的右顶点A（1，0），且斜率为k（k＞0），∴直线l的方程为y=k（x﹣1），联立，得（1﹣k2）x2+2k2x﹣k2﹣1=0，由直线l与双曲线交于不同的两点得，解得k≠±1，设B（x B，y B），由A（1，0），得1+x B=，x B=，∵•＞3，∴x A x B+y A y B=＞3，解得1＜k＜或﹣．∴故k的取值范围为（﹣，﹣1）∪（1，）．20．（16分）已知抛物线y2=8x与椭圆+=1有公共焦点F，且椭圆过点D（﹣，）．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y2=8x与椭圆+=1有公共焦点F（2，0），且椭圆过点D（﹣，），∴，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（2）设直线AP的方程为y=kx+2（k≠0），由方程组，得（2k2+1）x2+8kx=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1=，x2=0，所以x P=，y P=．用﹣代替上面的k，可得x Q=，y Q=．∴直线PQ：=，由x=0，得y==﹣，∴直线PQ经过定点（0，﹣）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。