T，函
4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的 问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．
【典例讲解】
例 1、设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数， 且对任意实数 x，恒有 f(x＋ 2)＝－ f(x)．当 x∈ [0,2] 时， f(x)＝ 2x－ x2.
【练习巩固】
1、已知定义在 R 上的函数 f x 满足条件；①对任意的 x R ，都有 f x 4 f x ；
②对任意的 x1, x2 0, 2 且x1 x2，都有 f x1
轴对称 .则下列结论正确的是 ( )
f x2 ；③函数 f x 2 的图象关于 y
A. f 7 f 6.5 f 4.5 B. f 7 f 4.5 f 6.5
数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
【变式探究】
已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且
f(x＋2) ＝－ f
1 x
，当 2≤x≤３时，
f(x)＝ x，则 f (105.5)＝________.
【答案】 2.5
【针对训练】
1 、 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 满 足 f x f x 2 2012 ， 若 f 1 2 ， 则 f 99 ________ ． 【答案】 1006 2、已知 f ( x) 是 R 上的奇函数， 对 x R 都有 f (x 4) f ( x) f (2) 成立，若 f ( 1) 2 ，
＝ … ＝ f(2 008) ＋ f(2 009) ＋ f(2 010)＋ f(2 011)＝ 0.
∴ f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋… ＋ f(2 013)＝ f(0) ＋ f(1) ＝ 1.
【拓展提高】
判断函数的周期只需证明 f (x＋ T)＝ f(x) ( T≠0便) 可证明函数是周期函数， 且周期为 T，函
数就叫做 f(x)的最小正周期． 3．关于函数周期性常用的结论
(1)若满足 f (x＋ a)＝－ f x ，则 f ( x＋2a)＝f [( x＋a)＋ a]＝－ f ( x＋a)＝ f x ，所
以 2a 是函数的一个周期 ( a 0 )；
(2)若满足 f ( x＋a)＝ 1 ，则 f ( x＋ 2a)＝ f [( x＋ a)＋a]＝
C. f 4.5 f 6.5 f 7
【答案】 D
D. f 4.5 f 7 f 6.5
2、设 g( x) 是定义在 R 上 ,以 1 为周期的函数 ,若函数 f (x) x g( x) 在区间 [0,1] 上的值域为
[-2,5], 则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为
第 8 节 函数的周期性 【基础知识】
1．周期函数：对于函数 y＝ f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值
时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
y＝ Asin( ω＋ｘφ），用公式
T＝ 2| πω计｜算．递推法：若 f(x ＋ a)＝－ f(x) ，则 f(x ＋ 2a)＝ f[(x ＋ a)＋ a]＝－ f(x ＋ a)＝ f(x) ，所以
周期 T ＝ 2a.换元法：若 f(x ＋ a)＝ f(x － a)，令 x－ a＝ t， x＝ t＋ a，则 f(t) ＝ f(t ＋ 2a)，所以周期
3
5
A． { a | a 2k 或 2k , k Z}
4
4
1
3
Hale Waihona Puke B． { a | a 2k 或 2k , k Z}
4
4
5 C． { a | a 2k 1或 2k , k Z}
4
D． { a | a 2k 1 , k Z}
【答案】 C 【综合点评】 函数周期性的应用主要有两个方面， 其一是求函数值， 理论依据是周期性的定 义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是 利用周期函数图象重复出现的特征， 先画出一个周期内的函数图象， 然后依次向左向右平移 周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．
1 ＝ f (x) ，所以
f ( x)
f ( x a)
2a 是函数的一个周期 ( a 0 )；
1
(3)若函数满足 f (x a)＝-
，同理可得 2a 是函数的一个周期 ( a 0 ).
f ( x)
（ 4 ） 如 果 y f ( x) 是 R 上 的 周 期 函 数 ， 且 一 个 周 期 为 T ， 那 么
T＝ 2a．
2．判断函数的周期只需证明 f(x＋ T)＝ f(x)( T≠ 0便) 可证明函数是周期函数，且周期为 数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时， 要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(k∈ Z 且 k≠0也) 是函数的周期．
则
f (2013) 等于（ ）
A．2
B．﹣ 2
C．﹣ 1
D． 2013
【答案】 A
3、已知周期函数 f ( x) 的定义域为 R ，周期为 2 ，且当 1 x 1时， f ( x) 1 x2 .若直
线 y x a 与曲线 y f (x) 恰有 2 个交点，则实数 a 的所有可能取值构成的集合为 ( )
(1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x∈ [2,4] 时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋… ＋ f(2 013)．
(3)解 ∵ f(0)＝ 0， f(2) ＝0， f(1) ＝1， f(3) ＝－ 1.
又 f(x) 是周期为 4 的周期函数，
∴ f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋f(3) ＝ f(4) ＋ f(5)＋ f(6) ＋f (7)
f ( x nT ) f ( x)(n Z ) ．
（ 5）函数图像关于 x a, x b 轴对称 T 2( a b) ．
（ 6）函数图像关于 a,0 , b,0 中心对称 T 2(a b) ．
（ 7）函数图像关于 x a 轴对称，关于 b,0 中心对称 T 4(a b) ．
【规律技巧】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如