A.2B. 13C.12D. 112.(普通班做)设,,x y z 均大于0,则三个数:111,,x y z y z x+++的值 ( C )A. 都大于2B.至少有一个不大于2C. 至少有一个不小于2D. 都小于212.(实验班做) 若R b a ∈,且b a ≠,则在 ① 22b b a >+;② 322355b a b a b a+>+;③ ();1222--≥+b a b a④ 2>+baa b . 这四个式子中一定成立的有 ( C ) A. 4个 B. 3个 C. 2个D. 1个二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
13、函数2ln 1y x =+在点(1,1)处的切线方程为 210x y --= .14. 在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为cos()14πθ+=,曲线C 的参数方程为()13cos sin x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数,点M 是曲线C 上的动点 ,则点M到直线l 最大值为 2.15. 设函数()3f x x x a =-+-,如果对任意,()4x R f x ∈≥,则a 的取值范围是_____()()7,,1+∞⋃-∞-_____.16.已知命题p :存在x ∈R ,使tan x =22,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2},下列结论:①命题“p 且q ”是真命题;②命题“p 且q ⌝”是假命题;③命题“p ⌝或q ”是真命题;④命题“p ⌝或q ⌝”是假命题,其中正确的是 ①②③④三、解答题:本大题共6个小题,共70分, 解答应写出文字说明或演算步骤。
17. (本小题满分12分) 已知曲线C 的极坐标方程是2COS ρθ=,直线l 的参数方程是22,3253x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩(t 为参数).(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线l 与y 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最小值. 解:(1)曲线C 的极坐标方程可化为22cos ρρθ=又222,cos ,x y x ρρθ+==……………………………………2分所以曲线C 的直角坐标方程2220x y x +-=………………4分(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得3y x =-- …………6分令x 0=得3y =-,即M 点的坐标为(0,-3). ……………………8分又曲线C 为圆,圆C 的圆心坐标为(1,0),半径1r =,则MC =,1MN MC r ≥-=………………………………11分所以MN的最小值为1…………………………………………12分18.(本小题满分12分)在研究色盲与性别的关系调查中,调查了男性400人,其中有30人患色盲,调查的600名女性中有20人患色盲.(1)根据以上数据建立一个2×2列联表;(2)有多大把握认为“性别与患色盲有关系”? 参考公式及数据:K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )附临界值参考表:x 02.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828解:(1)性别与色盲的2×2列联表建立如下:患色盲 不患色盲总计男 30 370 400 女 20 580 600 总计50 950 1 000…… ……… ……………………………………5分 (2)假设H 0:“性别与患色盲没有关系”,根据(1)中2×2列联表中数据,可求得()22100030580203708.77250950400600K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………………… ……………8分又P (K 2≥7.879)=0.005,即H 0成立的概率不超过0.005,…………10分 故若认为“性别与患色盲有关系”,则出错的概率不超过0.005.所以有99.5%的把握认为“性别与患色盲有关系”………………………………12分. 19. (本小题满分12分)已知椭圆的两焦点为10()1,F -、()21,0F ,p 为椭圆上一点,且122F F = 12.PF PF +(1)求此椭圆的方程;(2)若点P 在第二象限,∠F 2F 1P =120°,求△PF 1F 2的面积.解:(1)依题意得|F 1F 2|=2, 又2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=4=2a .∴a =2,c =1, b2=3.∴所求椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设P 点坐标为(x ,y ),∵∠F 2F 1P =120°, ∴PF 1所在直线的方程为y =(x +1)·tan 120°,即y =-3(x +1).解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =-3x +1,x 24+y23=1,又∵x <0,y >0,可得⎩⎪⎨⎪⎧x =-85,y =335.∴12PF F S∆=12|F 1F 2|·335=335. 20. (本小题满分12分)解不等式:(1)411x x -<- ; (2)124x x -++>解:(1)、(,1)(1,3)-∞- (2)、5(,)(2,)2-∞-+∞20、(实验班做)(本小题满分12分)已知函数()212f x x x a=-++,()3g x x =+.(Ⅰ)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;(Ⅱ)设1a >-,且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.解:(1)当2a =-时,不等式()()f x g x <化为212230x x x -+---<…1分设函数21223y x x x =-+--- 则15()212(1)236(1)x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩……………………………4分其图像如图所示,从图像可知, 当且仅当(0,2)x ∈时,0y <………5分所以原不等式的解集是{}02x x |<<………………6分(2)当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时,()1f x a =+………………………………………6分不等式()()f xg x ≤化为13a x +≤+………………… …………………7分所以2x a ≥-对1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立……………………………………9分故22aa -≥-,即43a ≤………………………………………………11分从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦…………………………………………12分 21.(普通班做)(本小题满分12分)已知函数32()f x x ax bx c=+++在23x =-与1x =时都取得极值. (1) 求a ,b 的值与函数()f x 的单调区间; (2) 若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围.解:(1)f(x)=x 3+ax 2+bx +c , f′(x)=3x 2+2ax +b ,由f′⎝ ⎛⎭⎪⎫-23=129-43a +b =0,f′(1)=3+2a +b =0得a =-12,b =-2.f′(x)=3x 2-x -2=(3x +2)(x -1), 令f′(x )>0,得x<-23或x>1, 令f′(x)<0,得-23<x<1.所以函数f(x)的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-23和(1,+∞),递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,1.(2)f(x)=x 3-12x 2-2x +c ,x∈[-1,2],由(1)知,当x =-23时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23=2227+c 为极大值,而f(2)=2+c ,则f(2)=2+c 为最大值, 要使f(x)<c 2,x∈[-1,2]恒成立, 则只需要c 2>f(2)=2+c ,得c<-1或c>2.21. (实验班做)(本小题满分12分)已知函数()ln f x x a x=+,在1x =处的切线l 与直线20x y += 垂直,函数21()().2g x f x xbx =+-(1) 求实数a 的值;(2) 若函数()g x 存在单调递减区间,求实数b 的取值范围;(3) 设1212,()x x xx >是函数()g x 的两个极值点,若72b ≥,求12()()g x g x - 的最小值。
解:(Ⅰ)()ln ()1af x x a x f x x'=+∴=+,,20l x y +=与直线垂直,1|12x k y a ='∴==+=,1a ∴=(Ⅱ)21()ln (1)(0)2g x x x b x x =+-->21(1)1()(1)x b x g x x b x x--+'=+--=设2()(1)1x xb x μ=--+,则(0)10μ=>只须21013231(1)40b b b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨><-⎩⎪∆=-->⎩或b∴的取值范围为(3,)+∞(Ⅲ)令21212()0(1)101,1g x xb x x x b x x '=--+=∴+=-=得,2222111212121212122211()()ln()(1)()ln ()()()22x x g x g x x x b x x x x x x x x x x -=+----=+--+-2211211221222111ln ln ()22x x x x x x x x x x x x -=-=--11220,01x t x x t x =<<∴<<,,又212221212121()1725,(1)2(1)241x x b x x b t x x t x x ⎧+=-+⎪=-++≥-=⎨=⎪⎩得2141740,04t t t ∴-+≥∴<≤,令111()ln ()(0)24h t t t t t =--<≤ 222111(1)()(1)022t h t t t t -'=-+=-<,1()(0,]4h t ∴在单减 115()()2ln 248h t h ≥=-故12()()g x g x -的最小值为152ln 28-22.(本小题满分10分)提示:本小题为选作题①(选修4-1:几何证明选讲)如图设M 为线段AB 中点,AE 与BD 交于点C ,∠DME=∠A=∠B=α,且DM 交AC 于F ,EM 交BD 于G.(Ⅰ)写出图中三对相似三角形,并对其中一对作出证明;(Ⅱ)连结FG ,设α=45°,AB=42,AF=3,求FG 长.②(选修4—4:坐标系与参数方程)平面直角坐标系中,已知曲线221:1C x y +=,将曲线1C 上所有点横坐标,纵坐标分别伸长为原来的2倍和3倍后,得到曲线2C(Ⅰ)试写出曲线2C 的参数方程;(Ⅱ)在曲线2C 上求点P ,使得点P 到直线:450l x y +-=的距离最大,并求距离最大值.③(选修4—5:不等式选讲)设()2|||3|.f x x x =-+ (Ⅰ)求不等式()7f x ≤的解集S ;(Ⅱ)若关于x 不等式()|23|0f x t +-≤有解,求参数t 的取值范围.解:①(I ) △AME ∽△MFE ,△BMD ∽△MGD , △AMF ∽△BGM ……3分∵∠AMD =∠B+∠D ,∠BGM=∠DMG+∠D , 又∠B=∠A=∠DME=α∴∠AMF=∠BGM ∴△AMF ∽△BGM …………6分(II )由(1)△AMF ∽△BGM , AF BM AM BG =, 38=BG ,∠α=45°∴△ABC 为等腰直角三角形AB=24,AC=BC=4,CF=AC -AF=1,CG=4-3438=,35)34(1222=+=+=GC FC FG …12分② (1)曲线1C 的参数方程为cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数), 由23x x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩得2cos 3sin x y θθ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩ ,∴2C 的参数方程为2cos (3sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)……6分(2)由(1)得点()2cos ,3sin P θθ,点P到直线l的距离()2cos 3sin 455cos 4522d θθθϕ+---==, 2tan 3ϕ=,max5551022d ==,此时2535,P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭点的坐标为 ……12分。