福建省漳州市第一中学2012-2013学年高三上学期期末考试数学（文科）试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i 为虚数单位，则=++-ii i 1)21)(1(（）A .i --2B .i +-2C .i -2D . i +22．定义集合A*B ＝｛x |x A,且x B ｝,若A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛2，3，5｝，则A*B 的子集个数为（） A . 1B . 2C . 3D . 43．实数的最大值为（）A . 18B . 19C . 20D . 214．已知向量a ，b 满足|a |=2，|b |=3，|2a +b |=37，则a 与b 的夹角为（） A . 30° B . 45° C . 60° D . 90° 5．下列函数中，在区间（0，2π）上为增函数且以为周期的函数是（）A .2sinx y = B .x y sin =C .xytan -= D . xy2cos -=6．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m ∥β，n ∥β，m 、n ⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β；④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n ； 其中真命题的个数是（） A . 1B . 2C . 3D . 47．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A . 62B . 63C . 64D . 658．用二分法求函数32)(x x f x -=的零点，以下四个区间中，可以作为起始区间的是（） A .（0，1） B .（1，2） C .（2，3） D .（3，4）9．直线x -y +m =0与圆x 2+y 2-2x -1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（） A . 0<m <1 B . m<1 C . -3<m <1 D . -4<m <2 10．已知双曲线12222=-by ax （a >0，b >0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围是（） A . (5，＋ ∞)B . [5，＋∞)C .(1，5)∪(5，＋∞)D .(1，5)∈∉420520402,-+=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-y x z y x y x y x y x ，则满足条件π甲 乙 5 3 13 6 8 24 54 7 9 3 2 6 3 7 814 5 7（第7题图）11．若函数)1(log)(231+-=ax xx f 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A .a <-2或a >2 B .a ≤-2或a ≥2C .-2<a <2D . -2≤a ≤212．若向量a =（1，1-x ），b =(1，1+x )，则函数|4|4)(--=x x f 是（ ）A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D . 减函数二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若等差数列｛n a ｝的前n 项和为S n ，且S 6=65，a 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=-15，则a 13+a 14+a 15+a 16+a 17+a 18 =_________.14．如果执行下面的程序框图，那么输出的S 的值是_________.15．如图是一个几何体的三视图（单位：cm ）．这个几何体的表面积为cm 2．16．有n 粒球（n≥2，n ∈N *），任意将它们分成两堆，求出两堆球数的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球数的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球数的乘积，直到不能分为止，记所有乘积之和为n S．例如，对于4粒球有如下两种分解：（4）→（1，3）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此时S 4=1×3+1×2+1×1=6；（4）→（2，2）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此时S 4=2×2+1×1+1×1=6，于是发现S 4为定值6．请你研究S n 的规律，猜想S n =_______.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知⎪⎭⎫⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x .（Ⅰ）求x sin 的值；（第14题图）（第15题图）侧视图俯视图正视图（Ⅱ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值.18．（本小题满分12分）如图，在棱长都等于1的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为1AA 、C B 1的中点.（Ⅰ）求证：DE //平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥B 1-BDE 的体积．19．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5=70，且a 2，a 7，a 22成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为n T ，求证：8361<≤n T ．20．（本小题满分12分）（Ⅰ）一个骰子投掷2次，得到的点数分别为a ，b ，求直线y =a -b 与函数x y sin =图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[0，6]上任取一个数，b 是从区间[0，6]上任取一个数，求直线y =a -b 在函数x y sin =图象上方的概率．21．（本小题满分12分）已知直线l ：y =kx +2(k 为常数)过椭圆C ：12222=+by ax )0(>>b a 的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆O ：x 2+y 2=4截得的弦AB 的中点为M ． （Ⅰ）若|AB |=554，求实数k 的值；（Ⅱ）顶点为O ，对称轴为y 轴的抛物线E 过线段BF 的中点T 且与椭圆C 在第一象限的交点为S ，抛物线E 在点S 处的切线m 被圆O 截得的弦PQ 的中点为N ，问：是否存在实数k ，使得O 、M 、N 三点共线？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．ABDE A 1B 1C 122．（本小题满分14分）已知函数bxxx a x f +=ln )(的图象在点P (1，f (1))处的切线方程是y =-1，其中实数a ，b 是常数． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若x =1是函数2ln 1)(x x c x g --=的唯一零点，求实数c 的取值范围； （Ⅲ）若对任意的正实数x ，以及任意大于m 的实数t ，都有tt x tx t x ln )ln(<-++恒成立，求实数m 的最小值．参考答案13．-95 14．10000 15．．22n n-解析：经计算21212⨯==S ，22333⨯==S ，23464⨯==S ，245105⨯==S ，于是猜想22)1(2n nn n S n-=-=三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（Ⅰ）∵⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，……………………………… 1分∵1024cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πx ∴10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x ……………………… 3分∴4sin)4cos(4cos)4sin(]4)4sin[(sinππππππ-+-=+-=x x x x5422102221027=⨯+⨯=………………………………………………… 6分（Ⅱ）因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin1cos22-=⎪⎭⎫⎝⎛--=--=x x ………………… 7分2571cos22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-==x x x x x ………………………… 9分所以5037243sin 2cos 3cos2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+πππx x x …………………………… 12分18．（Ⅰ）证明：取BC 中点G ，连结EG AG ,，E G , 分别为1,CB CB 的中点，∴EG //21BB 1，…………………………………2 分三棱柱111C B A ABC -，AA 1BB 1，D 为AA 1中点∴AD 21BB 1∴EGAD ∴四边形ADEG 为平行四边形∴AG //DE ……………………… 4分 又ABC DE ABC AG 平面平面⊄⊂,∴DE //平面ABC ；………………………………………………………………… 6分（Ⅱ）解：∵BB 1⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ∴AG ⊥BB 1， ∵AB =BC ，G 为BC 中点，∴AG ⊥BC ∴AG ⊥平面B 1BE 又DEAG ，∴DE ⊥平面B 1BE 且DE =AG =23∵E 为B 1C 中点∴41)1121(21)21(2121111=⨯⨯⨯=⨯⨯==∆∆BB BC S S BCBEBB8+ ABCDEA 1B 1C 1G∴三棱锥B 1-BDE 的体积24323413131111=⨯⨯=⋅==∆--DE S V V BEBBEBD BDEB … 12分19．（Ⅰ）解：依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧==22227570a a a S ，即⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+)21)(()6(7010511211d a d a d a d a … 2分解得a 1=6，d =4．…………………………………………………………………… 4分 ∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………… 5分 （Ⅱ）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………… 6分 ∴()21112422nS n nn n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．……………………………… 7分 ∴nn nS S S S S T 111111321+++++=-1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………8分111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭…………………………… 9分 ∵311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，∴38n T <．……………………………… 10分 ∵11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列．∴116n T T ≥=． ∴1368n T ≤<．…………………………………………………………………… 12分20．解：（Ⅰ）基本事件共36个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）． ……………………… 3分 其中括号内第1个数表示a 的取值，第2个数表示b 的取值．记“直线y =a -b 与函数x y sin =图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等”为事件A ，则A ={(a ，b )| a -b =1或a -b =0或a -b =-1，1≤a ≤6，1≤b ≤6，a ，b ∈N }∴事件A 包含16个基本事件： （2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6）． ……………………5分 ∴所求事件的概率为943616)(==A P ． …………………………………………… 6分（Ⅱ）记“直线y =a -b 在函数x y sin =图象上方”为事件B ，试验全部结果构成的区域为}60,60|),{(≤≤≤≤=Ωb a b a ………………… 7分 事件B 的区域为}1,60,60|),{(>-≤≤≤≤b a b a b a ，如图阴影部分所示：………………………… 10分∴所求事件的概率为7225665521)(=⨯⨯⨯=B P ．… 12分21．解：（Ⅰ）圆O 的圆心为O （0，0），半径为r =2 ∵OM ⊥AB ，|AB |=554∴554)2||(||22=-=AB rOM ………………… 2分∴554122=+k，∴412=k又0>=FB k k ∴21=k ………………… 4分（Ⅱ）∵F (k2-，0)，B (0，2)，T 为BF 中点∴T (k1-，1) ．设抛物线E 的方程为y =tx 2(t >0)，∵抛物线E 过T ∴211kt ⋅=∴2k t =∴抛物线E 的方程为22x k y =，……………………………………………………… 6分 ∴x k y 22'=，设S (x 0，y 0)，则022'0x k y k x x m ===，………………………………… 7分假设O 、M 、N 三点共线，则∵OM ⊥l ，ON ⊥m ，∴l //m ，………………………… 8分 又0>=k k l ∴m l k k =∴022x k k =∴kx 210=，4141222020=⋅==kkx k y …… 9分 ∵S 在椭圆C 上，∴1220220=+by ax 结合2=b，kc 2=，222244kc b a +=+=，得14161444122=++kk ，∴63592-=k ∴k 无实数解，矛盾，∴假设不成立故不存在实数k ，使得O 、M 、N 三点共线．………………………………………… 12分 22．解：（Ⅰ）b xx a x f +-=2)ln 1()('∵函数)(x f 的图象在点P (1，f (1))处的切线方程是y =-1∴⎩⎨⎧=-=0)1('1)1(f f ，即⎩⎨⎧=+-=01b a b ∴⎩⎨⎧-==11b a …………………………………………… 3分（Ⅱ）)(x g 定义域为(0，+∞)，xcxx xc x g +-=--=222)('………………………… 4分①若c ≥0，则)0(02)('2><+-=x xcxx g ∴)(x g 在(0，+∞)上是减函数又0)1(=g ∴x =1是函数)(x g 的唯一零点，符合条件．………………………………… 5分 ②若c<0，则由)0(02)('2>=+-=x x cxx g 得2c x -=列表………………… 6分 (i)若12<-c ，即-2<c<0，则0)1()2(=>-g c g ，又-∞=+→)(lim 0x g x∴)(x g 在(0，2c -)内有1个零点，从而)(x g 有两个零点，不合条件．………… 7分 （ii ）若12=-c ，即c =-2，则0)1()2()(==-≤g c g x g （当且仅当x =1时取“=”），∴x =1是函数)(x g 的唯一零点，符合条件． ………………………………………… 8分 （iii ）若12>-c ，即c <-2，则0)1()2(=>-g c g ，又-∞=+∞→)(lim x g x∴)(x g 在（2c -，+∞）内有1个零点，从而)(x g 有两个零点，不合条件．综上，c 的取值范围是c ≥0或c =-2． ……………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅰ）xx x x f -=ln )(，取c=1，则2ln 1)(x x x g --=由（Ⅱ）可知，)(x g 有唯一零点x =1，且当x >1时g (x )<0，当0<x <1时g (x )>0 ∴由)(ln 1)('222<=--=xx g xxx x f ，得x >1，∴)(x f 的减区间为（1，+∞）……… 10分∴对任意的正实数x ，以及任意大于m 的实数t ， 都有tt x tx t x ln )ln(<-++，即ttt t x tx t x -<+-++ln )()ln(，)()(t f t x f <+恒成立⇔)(x f 在(m ，+∞)上是减函数⇔(m ，+∞)⊆(1，+∞)⇔m ≥1 ………………… 13分∴实数m 的最小值是1． ……………………………………………………………… 14分。