2021年福建省漳州一中高考数学一模试卷日期：2021年2月24日课程名称：数学一模试卷2021年福建省漳州一中高考数学一模试卷一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意）.1．（5分）给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中的真命题是（）A．p且q B．p或q C．￢p且q D．￢p或q 2．（5分）已知函数，若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4B．2C．1D．3．（5分）省博物馆在下周内要接待甲、乙、丙三所学校的学生参观，每天只安排一所学校，双休日不安排，其中由于甲学校学生人数多，要连续参观两天，其余两学校各参观一天，则不同的安排方案共有（）A．12种B．24种C．48种D．60种4．（5分）某校高考数学成绩近似地服从正态分布N（100，100），则此校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为（已知Φ（2）＝0.9772）（）A．2.28%B．10%C．22.8%D．以上均不对5．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知两定点A（2，0）、B（0，1），O为坐标系原点，动点P满足：，则的最大值是（）A．1B．2C．3D．47．（5分）过抛物线y2＝2Px（P＞0）的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，且点A在第一象限，着|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．38．（5分）设等比数列{a n}的首项a1＝2，公比为q，前n项和为S n，记，则当﹣1＜q＜0时，S的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB 上，且AM＝，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线10．（5分）对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如[3.4]＝3，[﹣3.4]＝﹣4等），设函数f（x）＝x﹣[x]，给出下列四个结论：①f（x）≥0；②f（x）＜1；③f（x）是周期函数；④f（x）是偶函数，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．411．（5分）△ABC内有任意三点不共线的2015个点，加上A、B、C 三个顶点，共有2018个点，把这2018个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）A．4000B．4008C．4031D．4028 12．（5分）已知x，y，z∈R+，且，则（x+y）（y+z）的最小值为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）（理）设复数z＝1﹣i，若为纯虚数，则实数a的值为．14．（4分）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，且|AB|＝4，则这样的直线有条．15．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是．16．（4分）在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D 是A点在BC边上的射影，则AB2＝BD•BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为．三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．已知△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且a2+b2＝2c2（Ⅰ）求角C的最大值；（Ⅱ）求的取值范围．18．设常数a＞0，函数（Ⅰ）当时，求函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．19．如图，矩形ABCD和矩形CDEF所在平面互相垂直．（Ⅰ）若AB＝2，AD＝DE＝1，P为AB的中点，求二面角D﹣EC 一P的正切值，并判定△EPC的形状；（Ⅱ）若AB＝a，AD＝DE＝1时，试确定在线段AB上是否存在点P，使得？若存在，求出a的取值范围，否则说明理由．20．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（件）（x∈N，0＜x≤100）之间的关系如表：123...x (9899100)日产量x次品率……P已知生产一件正品盈利a元，生产一件次品损失元．（Ⅰ）试将该厂的日盈利额y（元）表示为日产里x（件）的函数；（Ⅱ）为获取最大盈利，该厂的日产里x应定为多少件？21．（如图）过椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB 的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．（1）求椭圆＝1的“左特征点”M的坐标．（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆＝1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．22．已知数列{a n} 满足：a1＝2，a n+1＝2（1+）2a n（n∈N+）．（1）求数列{a n} 的通项公式；（2）设b n＝（An2+Bn+C）•2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N+都有a n＝b n+1﹣b n成立？说明你的理由；（3）求证：a1+a2+…+a n＜（n2﹣2n+2）•2n+2．2018年福建省漳州一中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意）.1．（5分）给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中的真命题是（）A．p且q B．p或q C．￢p且q D．￢p或q 【分析】首先判断两个命题的真假，再由真值表选择答案．p中，由绝对值得意义，考虑x＝0的情况；q中可取特殊函数．【解答】解：p中x＝0时有|x|＝x，故p为假命题，﹣p为真命题，所以﹣p或q一定为真命题；q中若f（x）＝在定义域上不是单调函数，但存在反函数，故q 为假命题，由真值表知A、B、C均为假命题．故选：D．【点评】本题考查命题和复合命题真假判断，属基础知识的考查．2．（5分）已知函数，若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4B．2C．1D．【分析】先确定|x1﹣x2|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值也就是半周期，由此可得结论．【解答】解：函数，对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，所以f（x1）是最小值，f（x2）是最大值，|x2﹣x1|为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．∴|x1﹣x2|的最小值为半周期：＝2．故选：B．【点评】本题考查三角函数的性质，确定|x1﹣x2|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值就是函数的半周期是关键，属于中档题．3．（5分）省博物馆在下周内要接待甲、乙、丙三所学校的学生参观，每天只安排一所学校，双休日不安排，其中由于甲学校学生人数多，要连续参观两天，其余两学校各参观一天，则不同的安排方案共有（）A．12种B．24种C．48种D．60种【分析】根据题意，分2步进行分析：①，先用列举法分析甲学校的安排方法数目，②，再由排列数公式计算两所学校各参观一天的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先安排甲学校参观，由于甲学校连续参观两天，从5天中找连续的两天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，有4种情况，②，另两所学校各参观一天，从剩下的3天中任选2天，有A32＝6种方法，则一共有4×6＝24种安排方法；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．4．（5分）某校高考数学成绩近似地服从正态分布N（100，100），则此校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为（已知Φ（2）＝0.9772）（）A．2.28%B．10%C．22.8%D．以上均不对【分析】用X表示此中学数学高考成绩，则X～N（100，102），根据X～N（μ，σ2），可得P（X≥120）＝1﹣P（X＜120）＝1﹣Φ（2），则答案可求．【解答】解：∵用X表示此校数学高考成绩，则X～N（100，102），P（X＞x0）＝1﹣Φ（x0）．X～N（μ，σ2），记P（X＜x0）＝F（x0）＝Φ（）．∴P（X≥120）＝1﹣P（X＜120）＝1﹣Φ（）＝1﹣Φ（2）＝0.0228．∴数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比为2.28%．故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，属于基础题．5．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．【分析】以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，即可得出结论．【解答】解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．6．（5分）已知两定点A（2，0）、B（0，1），O为坐标系原点，动点P满足：，则的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】设P（x，y），则（x﹣2，y）＝（﹣2λ，λ），从而＝（2，0）•（2﹣2λ，λ）＝2（2﹣2λ）＝4﹣4λ，由0≤λ≤1，能求出的最大值．【解答】解：设P（x，y），∵两定点A（2，0）、B（0，1），O为坐标系原点，动点P满足：，∴（x﹣2，y）＝（﹣2λ，λ），解得x＝2﹣2λ，y＝λ，∴P（2﹣2λ，λ），∴＝（2，0）•（2﹣2λ，λ）＝2（2﹣2λ）＝4﹣4λ，∵0≤λ≤1，∴的最大值是4．故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的最大值的求法，考查向量加法定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）过抛物线y2＝2Px（P＞0）的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，且点A在第一象限，着|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．3【分析】设直线L交准线于C，根据相似三角形列比例式依次求出BC，p，即可得出抛物线方程．【解答】解：设抛物线准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，直线L交准线于C，如图所示：则|AA'|＝|AF|，|BB'|＝|BF|，|AF|＝3|BF|，|AN|＝2|BF|，|AB|＝4|BF|，cos∠NAB＝，∠NAB＝60°．则直线l的斜率为：．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基本知识的考查．8．（5分）设等比数列{a n}的首项a1＝2，公比为q，前n项和为S n，记，则当﹣1＜q＜0时，S的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n}的首项a1＝2，公比为q，前n项和为S n，＝，当﹣1＜q＜0时，可得S＝，又1﹣q∈（1，2），∈（，1）＝∈（1，2）．故选：A．【点评】本题考查数列的极限，数列极限的综合应用，考查计算能力．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线【分析】作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2﹣PQ2＝RQ2＝1，又已知PR2﹣PM2＝1，故PQ＝PM，即P到点M的距离等于P到AD的距离．【解答】解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得PR2﹣PQ2＝RQ2＝1．又已知PR2﹣PM2＝1，∴PM＝PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM＝PQ是解题的关键．10．（5分）对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如[3.4]＝3，[﹣3.4]＝﹣4等），设函数f（x）＝x﹣[x]，给出下列四个结论：①f（x）≥0；②f（x）＜1；③f（x）是周期函数；④f（x）是偶函数，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由[x]为不大于x的最大整数，可得[x]≤x＜[x]+1，可得f （x）＝x﹣[x]≥0，且f（x）＜1，得①②正确，对于③则看f（x）与f（x+1）的关系即可，对于④，取特殊值即可说明其不成立．【解答】解：由题意有[x]≤x＜[x]+1∴f（x）＝x﹣[x]≥0，且f（x）＜1∴①②正确∵f（x+1）＝x+1﹣[x+1]＝x+1﹣（[x]+1）＝x﹣[x]＝f（x）∴f（x）为周期函数∵f（﹣0.1）＝﹣0.1﹣[﹣0.1]＝﹣0.1﹣（﹣1）＝0.9，f（0.1）＝0.1﹣[0.1]＝0.1﹣0＝0.1≠f（﹣0.1）∴f（x）不是偶函数，故选：C．【点评】本题考查了在新定义下，判断函数的取值范围，单调性，奇偶性．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．11．（5分）△ABC内有任意三点不共线的2015个点，加上A、B、C 三个顶点，共有2018个点，把这2018个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）A．4000B．4008C．4031D．4028【分析】根据题意，分析易得：△ABC中有1个点时，△ABC中有2个点时，△ABC中有3个点时，可以形成小三角形的个数，由归纳推理的方法可得当三角形中有n个点时，可以形成三角形的个数，将n＝2015代入可得答案．【解答】解：△ABC中有1个点时，可以形成小三角形的个数为2×1+1＝3个，△ABC中有2个点时，可以形成小三角形的个数为2×2+1＝5个，△ABC中有3个点时，可以形成小三角形的个数为2×3+1＝7个，………分析可得，当△ABC的内部每增加一个点，可以形成小三角形的数目增加2个，则三角形中有n个点时，三角形的个数为（2n+1）个；当△ABC内有任意三点不共线的2015个点时，应有点2×2015+1＝4031；故选：C．【点评】本题考查归纳推理的应用，注意分析三角形的个数与三角形内点的个数的变化规律．12．（5分）已知x，y，z∈R+，且，则（x+y）（y+z）的最小值为（）A．4B．3C．2D．1【分析】由题意可得xyz（x+y+z）＝1，即为y（x+y+z）＝，则（x+y）（y+z）＝xz+y（x+y+z）＝xz+，由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：x，y，z∈R+，且，可得xyz（x+y+z）＝1，即为y（x+y+z）＝，则（x+y）（y+z）＝xy+xz+y2+yz＝xz+y（x+y+z）＝xz+≥2＝2，当且仅当xz＝1取得等号，则（x+y）（y+z）的最小值为2，故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）（理）设复数z＝1﹣i，若为纯虚数，则实数a的值为1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z＝1﹣i，且＝为纯虚数，∴，即a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14．（4分）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，且|AB|＝4，则这样的直线有3条．【分析】右焦点为（，0），当AB的斜率不存在时，经检验满足条件，当AB的斜率存在时，设直线AB方程为y﹣0＝k（x﹣），代入双曲线化简，求出x1+x2和x1•x2的值，由|AB|＝4＝，解得k＝±，得到满足条件的斜率存在的直线有两条，故总共有3条．【解答】解：右焦点为（，0），当AB的斜率不存在时，直线AB 方程为x＝，代入双曲线的方程可得y＝±2，即A，B两点的纵坐标分别为2 和﹣2，满足|AB|＝4．当AB的斜率存在时，设直线AB方程为y﹣0＝k（x﹣），代入双曲线的方程化简可得（2﹣k2）x2 +2k2x﹣3k2﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴|AB|＝4＝，平方化简可得6k2﹣3＝0，∴k＝±，都能满足判别式△＝12﹣4（2﹣k2）（3k2﹣2）＞0．所以，满足条件的且斜率存在的直线有2条．综上，所有满足条件的直线共有3条，故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出满足条件的直线的斜率，是解题的关键和难点，属于中档题．15．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]．【分析】函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]【点评】考查存在性问题的转化，请读者与恒成立问题作比较，找出二者逻辑关系上的不同．16．（4分）在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D 是A点在BC边上的射影，则AB2＝BD•BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为（S△ABC）2＝S△BOC．S△BDC．【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S△ABC）2＝S△BOC．S△BDC【解答】解：由已知在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，则AB2＝BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S△ABC）2＝S△BOC．S△BDC．故答案为：（S△ABC）2＝S△BOC．S△BDC【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．已知△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且a2+b2＝2c2（Ⅰ）求角C的最大值；（Ⅱ）求的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cos C，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cos C的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值．（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知，根据余弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，a2+b2＝2c2，∴cos C＝≥＝＝，当且仅当a＝b时取等号，∵C为三角形的内角，∴0＜C≤，∴C的最大值为．（Ⅱ）∵π﹣C＝A+B，∴＝cos（2π﹣2C）﹣[1+cos（π﹣C）]＝cos2C ﹣（1﹣cos C）＝2（cos C+）2﹣，∵0＜C≤，可得：cos C∈[，1），∴cos C+∈[，），∴y＝2（cos C+）2﹣∈[﹣1，1）．【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，考查了三角函数恒等变换的应用和余弦函数性质的应用，属于中档题．18．设常数a＞0，函数（Ⅰ）当时，求函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，可得极值；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，可得f′（x）≥0在[0，+∞）恒成立，运用参数分离和可化为二次函数的最值求法，可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，f（x）＝﹣ln（x+）的导数为f′（x）＝﹣＝＝，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞或0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增，可得f（x）的极大值为f（）＝；f（x）的极小值为f（）＝﹣ln3；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，可得f′（x）≥0在[0，+∞）恒成立，即为：﹣≥0在[0，+∞）恒成立，可得a≥﹣x+2的最大值，由﹣x+2＝﹣（﹣1）2+1，可得x＝1时，取得最大值1，则a≥1．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值，考查参数分离和可化为二次函数的最值求法，以及运算能力，属于中档题．19．如图，矩形ABCD和矩形CDEF所在平面互相垂直．（Ⅰ）若AB＝2，AD＝DE＝1，P为AB的中点，求二面角D﹣EC 一P的正切值，并判定△EPC的形状；（Ⅱ）若AB＝a，AD＝DE＝1时，试确定在线段AB上是否存在点P，使得？若存在，求出a的取值范围，否则说明理由．【分析】（Ⅰ）过P做PM垂直CD于M，过P做PN垂直CE于N，连接MN推导出∠PNM是二面角D﹣EC﹣P的平面角，由此能求出二面角D﹣EC一P的正切值；求出PD＝PC＝，PE＝，CE ＝，由此得到△EPC是直角三角形．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）过P做PM垂直CD于M，过P做PN垂直CE于N，连接MN，∵平面ABCD⊥平面CDEF，且CD为交线，平面ABCD内，直线PM⊥CD，∴PM⊥平面CDEF，∴PM⊥CE，又∵PN⊥CE，∴CE⊥平面PMN，即CE⊥MN，平面CDE∩平面PCE＝CE，PN和MN分别在两个平面内，且PN⊥CE，MN⊥CE，∴∠PNM是二面角D﹣EC﹣P的平面角，∵tan∠NCM＝＝＝，∴sin，P是AB中点，∴M是CD中点，即CM＝1，∴在Rt△CNM中，MN＝CM•＝，在Rt△PMN中，PM＝AD＝1，MN＝，∴tan∠PNM＝＝，∴二面角D﹣EC一P的正切值为，PD＝PC＝＝，PE＝＝，CE＝＝，∴PC2+PE2＝CE2，∴PC⊥PE，∴△EPC是直角三角形．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设在线段AB上存在点P（1，t，0）（0≤t≤a），使得，E（0，0，1），C（0，a，0），则＝（﹣1，﹣t，1），＝（﹣1，a﹣t，0），∴＝1﹣ta+t2＝0，∴a＝＝t+≥2＝2，当且仅当t＝时，取等号，∴a≥2，即a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查二面角的正切值的求法，考查三角形开头的判断，考查实数的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（件）（x∈N，0＜x≤100）之间的关系如表：123...x (9899100)日产量x……次品率P已知生产一件正品盈利a元，生产一件次品损失元．（Ⅰ）试将该厂的日盈利额y（元）表示为日产里x（件）的函数；（Ⅱ）为获取最大盈利，该厂的日产里x应定为多少件？【分析】（Ⅰ）由生产一件正品盈利a元，生产一件次品损失元，可得y＝ax•（1﹣）﹣•x•，化简可得所求函数式；（Ⅱ）令t＝108﹣x，可得x＝108﹣t，转化为t的函数，运用基本不等式，即可得到所求最大值，相应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）生产一件正品盈利a元，生产一件次品损失元，可得y＝ax•（1﹣）﹣•x•＝•，x∈N，0＜x≤100；（Ⅱ）令t＝108﹣x，可得x＝108﹣t，可得f（t）＝a（108﹣t）•（1﹣）﹣﹣（108﹣t）•＝﹣a（t+）+≤﹣a•2+＝a．当且仅当t＝12，即x＝96时，上式取得等号，为获取最大盈利，该厂的日产里x应定为96件．【点评】本题考查函数在实际问题中的运用，考查基本不等式的运用：求最值，以及化简运算能力，属于中档题．21．（如图）过椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB 的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．（1）求椭圆＝1的“左特征点”M的坐标．（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆＝1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．【分析】（1）设M的左特征点，由椭圆左焦点F（﹣2，0），可设直线AB方程为x＝ky﹣2（k≠0），代入，得（k2+5）y2﹣4ky﹣1＝0，由∠AMB被x轴平分，k AM+k BM＝0，即整理可求．（2）对于椭圆，，结合椭圆的性质特征可猜想：椭圆的左特征点是椭圆的左准线与x轴的交点，然后可以利用第二定义给与证明．【解答】解：（1）设M的左特征点因为，椭圆的左焦点F（﹣2，0），可设直线AB的方程为x＝ky﹣2（k≠0）代入，得：（ky﹣2）y2+5y2＝5，即（k2+5）y2﹣4ky﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）得，由于，∠AMB被x轴平分，k AM+k BM＝0，即y1（x2﹣m）+y2（x1﹣m）＝0，即y1（ky2﹣2）+y2（ky1﹣2）﹣（y1+y2）m＝0所以，2ky1y2﹣（y1+y2）（m+2）＝0于是，因为k≠0，所以1+2（m+2）＝0，即（2）对于椭圆，，于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，垂足为C、D．据椭圆的第二定义：由于AC∥FM∥BD，所以于是所以，∠AMC＝∠BMD⇒∠AMF＝∠BMF则MF为∠AMB的平分线故M为椭圆的“左特征点”．【点评】本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的处理，要注意解题中直线AB得方程设为x＝ky﹣2（k≠0）的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在．22．已知数列{a n} 满足：a1＝2，a n+1＝2（1+）2a n（n∈N+）．（1）求数列{a n} 的通项公式；（2）设b n＝（An2+Bn+C）•2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N+都有a n＝b n+1﹣b n成立？说明你的理由；（3）求证：a1+a2+…+a n＜（n2﹣2n+2）•2n+2．【分析】（1）由已知可得＝2•，从而可判断{}是公比为2的等比数列．利用等比数列通项公式可得a n；（2）b n+1﹣b n＝[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n．由a n＝b n+1﹣b n恒成立，得，解出可作出判断；（3）由（2）知，及a n＝b n+1﹣b n，可求得a1+a2+…+a n＝（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n+1﹣b n）＝b n+1﹣b1，结合不等式右边式子进行放缩可证明；【解答】解：（1）由已知，得＝2•，则数列{}是公比为2的等比数列．又a1＝2，所以＝2n，即．（2）∵b n+1﹣b n＝[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n．若a n＝b n+1﹣b n恒成立，则，解得，故存在常数A，B，C，满足条件．（3）由（2）知：，a n＝b n+1﹣b n，∴a1+a2+…+a n＝（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n+1﹣b n）＝b n+1﹣b1＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6＜（n2﹣2n+3）•2n+1＝（﹣n+）•2n+2＝[（﹣]•2n+2≤（n2﹣2n+2）•2n+2．【点评】本题考查数列与不等式的综合、数列递推式，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较高．第31页（共31页）。