这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有 这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 Rn 中，对于
(x1, x2 ,L , xn )T , ( y1, y2 ,L , yn )T
规定
( , ) T x1 y1 x2 y2 L xn yn
足
AT A AAT I 则称 A 是正交矩阵，一般记为 A Enn
例：
(1)
4 5
1 5
i
2 5
2 5
i
2 5
2 5
i
1 5
4 5
i
是一个酉矩阵
(2)
223
1 3
2
2
3 1
3 3 3
1
2
2
3 3 3
是一个正交矩阵
(3)
cos sin
sin cos
是一个正交矩阵
i 1
i 1
t
t
(4) (, kii ) ki (, i )
i 1
i 1
定义：设 V 是 n 维酉空间，i 为其一组
基底，对于V 中的任意两个向量
n
n
xii , y j j
i 1
j 1
那么 与 的内积
n
n
n
(, ) ( xii , yii ) xi y j (i , j )
例 2 设 C%[a, b] 表示闭区间 [a,b]上的所有
连续复值函数组成的线性空间，证明：对于
任意的 f (x), g(x) C%[a,b] ，我们有
b
b
2
b
2
a f (x)g(x)d (x) a f (x) d (x) a g(x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 ,
第二步 单位化1 源自1 1,2 2 2
,L L L ,r
r r
显然1,2,L ,r 是一个标准的正交向量组。
例 1 运用正交化与单位化过程将向量组
1 1,1,0,0,2 1,0,1,0,3 1,0,0,1
化为标准正交向量组。 解：先正交化
1 1 1,1,0,0
2
2
2, 1 1, 1
1
2 3
,
1, 3
4 3
,1 ;
1
1 1
1 , 6
2, 6
1 6
,
0
2
2 2
2 , 30
1 , 30
4, 30
3 3
1,2 即为其解空间的一个标准正交基底。
酉变换与正交变换
定义：设 A 为一个 n 阶复矩阵，如果其满
足
AH A AAH I 则称 A 是酉矩阵，一般记为 AU nn
设 A 为一个 n 阶实矩阵，如果其满
有
( (), ( )) (, )
则称 是 V 的一个酉变换。
定理：设 V 是一个n 维酉空间， 是 V 的
一个线性变换，那么下列陈述等价：
（1） 是酉变换；
(2) () , V
（3）将V 的标准正交基底变成标准正交基
底； （4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉 矩阵。
注意：关于正交变换也有类似的刻划。
容易验证 ( , ) 是 Cn上的一个内积，从
而Cn 成为一个酉空间。
例 2 设 C%[a, b] 表示闭区间 [a,b] 上的所有
连续复值函数组成的线性空间，定义
b
( f , g) : a f (x)g(x)dx
容易验证 ( , ) 是 C%[a, b] 上的一个内
积，于是 C%[a, b] 便成为一个酉空间。
容而易R验n成证为(一个,欧氏)空1 是间。Rn如上果的规一定个内积，从
(, )2 x1 y1 2x2 y2 L nxn yn
容易验证
，这样 Rn
( , )2 也是Rn上的一个内积
又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在 nm 维线性空间 Rnm 中，规定
( A, B) : Tr( ABT )
定义：设 ACnn ,如果 AH A ，那么称
A 为Hermite矩阵；如果 AH A ，那么 称 A 为反Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。
4i 2 i 4 2i
(1)
2
i
i
1
4 2i 1 2i
6 1 2i 3i (2) 1 2i 9 1 i
i 1
j 1
i, j1
令
gij (i , j ) , i, j 1, 2,L , n
g11 g12 L
G
g21
g22
L
L L L
gn1
gn2
L
g1n
g2n
L
gnn
称 G 为基底 i 的度量矩阵，而且
g ji gij , (G)T G, (, ) X TGY
定义：设 ACnn，用 A 表示以 A 的元素
对于 V 中的任意两个向量 , 按照某一确定 法则对应着一个复数，这个复数称为 与 的内积，记为 (, ) ，并且要求内积满足下
列运算条件：
(1) (, ) ( ,) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (,) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意复数
3i 1 i 7
0 1 i 8i
(3) 1 i
0
4
i
8i 4 i 0
3 1 3i 2i
(4) 1 3i
4
1
5i
2i 1 5i 5
（5） 实对称矩阵 （6） 反实对称矩阵 （7） 欧氏空间的度量矩阵 （8） 酉空间的度量矩阵
内积空间的度量
定义：设 V 为酉（欧氏）空间，向量 V
的长度定义为非负实数
(,) 例 在 C 4 中求下列向量的长度
(1) (1 2i, i,3, 2 2i) (2) (1, 2,3, 4)
解： 根据上面的公式可知
5 1 9 6 21
1 4 9 16 30
一般地，我们有: 对于 C n中的任意向量
(a1, a2,L , an )
其长度为
n
ai 2
i 1
这里 ai 表示复数 ai 的模。
定理：向量长度具有如下性质
(1) 0 当且仅当 0 时， 0
(2) k k , k C (3)
(4) (, )
例 1： 在线性空间 M nn (C) 中，证明
Tr( ABH ) Tr( AAH ) Tr(BBH )
第三章 内积空间，正规矩阵与H-阵
定义： 设V 是实数域 R 上的n 维线性空间， 对于 中的V 任意两个向量 按, 照某一确
定法则对应着一个实数，这个实数称为
与 的内积，记为 (, ) ，并且要求内
积满足下列运算条件：
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (,) 0
的夹角定义为
于是有
,
(, )
: arccos
0 ,
2
定理：
, (, ) 0
2
因此我们引入下面的概念;
定义：在酉空间 V 中，如果 (, ) 0 ，
则称 与 正交。
定义： 长度为1的向量称为单位向量，对于
任何一个非零的向量 ，向量
总是单位向量，称此过程为单位化。
标准正交基底与Schmidt正交化方法
Schmidt正交化与单位化过程:
设 1,2,L ,r 为 r 维内积空间 V 中
的 r 个线性无关的向量，利用这 r 个向量完
全可以构造一个标准正交向量组。
第一步 正交化
1 1
2
2
2, 1 1, 1
1
LLLL
r
r
r , 1,
1 1
1
L
r , r1 r1, r1
r 1
容易验证 1, 2,L , r 是一个正交向量组。
例 3 在 n2 维线性空间 Cnn 中，规定
( A, B) : Tr( ABH ) 其中BH表示 B 中所有元素取共轭复数后再 转置，容易验证 ( , ) 是 Cnn 上的一 个内积，从而 Cnn 连同这个内积一起成为
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) (, k ) k(, )
x1 x2 x3 x4 0 x1 2x2 3x3 4x4 0 2x1 3x2 4x3 5x4 0
其解空间的一个标准正交基底。
解： 先求出其一个基础解系
X1 1, 2,0,1, X 2 2, 3,0,1
下面对 X1, X 2 进行正交化与单位化：
1 X1
2
X2
( X 2, 1) (1, 1)
P 1 AP
1
0
0 1
这里 Q, P 均为正交矩阵。
3阶正交矩阵的分类
设 A E33 ，那么
a 0
T 1AT 0 cos 0 sin
0
sin
cos
这里当 A 1 时，a 1 ；A 1时，a 1
酉矩阵与正交矩阵的性质：
设 A, B U nn ，那么
(1) A1 AH U nn (2) det( A) 1 (3) AB, BA U nn
的共轭复数为元素组成的矩阵，记
AH ( A)T
则称 AH 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证
复共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) AH ( AT ) (2) ( A B)H AH BH (3) (kA)H k AH (4) ( AB)H BH AH