人教版八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（word版 一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难） 1．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点. (1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形. (2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰
直角三角形?画出图形,写出结论不证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中
线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出
∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； (2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出
∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形. 【详解】 解：（1）连结AD ,
∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 , ∴AD⊥BC ,BD=AD , ∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°, 又∵BE=AF , ∴△BDE≌△ADF（SAS）, ∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF, ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°, ∴△DEF为等腰直角三角形. （2）连结AD ∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 , ∴AD=BD ,AD⊥BC , ∴∠DAC=∠ABD=45° , ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE , ∴△DAF≌△DBE（SAS）, ∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB, ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF为等腰直角三角形. 【点睛】 本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
2．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE． ⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的
性质即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论； （3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图 3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可
得到结论． 【详解】 解： (1)∵∠B=∠C=35°， ∴∠BAC=110° ， ∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°， ∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°， ∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°； (2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18° ， ∴∠E=75°−18°=57°， ∴∠ADE=∠AED=57°， ∴∠ADC=39°, ∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ， ∴∠BAD=36°. （3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β ①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴yxyx①②
-②得，2α﹣β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α
∴+yxyx①②
-①得，α=β﹣α，
∴2α=β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α
∴180180yxyx①②
-①得，2α﹣β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
3．问题探究： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）证明：AD=BE； （2）求∠AEB的度数． 问题变式： （3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解. 【解析】 【分析】 （1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE； （2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数； （3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE， ∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM． 【详解】 解：（1）如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，ACBCACDBCECDCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE； （2）如图1，∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=120°， ∴∠BEC=120°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°； （3）（Ⅰ）如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°， ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB， 即∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中，ACBCACDBCECDCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠BEC=∠ADC， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=180-45=135°， ∴∠BEC=135°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°， 故答案为：90°； （Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE， ∴CM=DM=EM， ∴DE=DM+EM=2CM， ∵△ACD≌△BCE（已证）， ∴BE=AD， ∴AE=AD+DE=BE+2CM， 故答案为：AE=BE+2CM． 【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．如图，在等边ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AECD，BD交CE于点P． （1）如图1，求证120BPC； （2）点M是边BC的中点，连接PA，PM． ①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是 ； ②若点A，P，M三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2APPM；②结论成立，证明见详解 【解析】 【分析】 （1）先证明()AECCDBSAS≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论； （2）①2APPM；由等边三角形的性质和已知条件得出AM⊥BC，∠CAP＝30°，可得PB＝PC，由∠BPC＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB＝30°，进而可得AP＝PC，由30°角
的直角三角形的性质可得PC＝2PM，于是可得结论； ②延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，根据SAS可证△ACD≌△BCP，得出AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，然后延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，易证△CMN≌△BMP（SAS），可得CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，最后再根据SAS证明△ADP≌△NCP，即可证得结论． 【详解】 （1）证明：因为△ABC为等边三角形，所以60AACB
∵ACBCAACBAECD ，∴()AECCDBSAS≌ ，∴AECCDB， 在四边形AEPD中，∵360AECEPDPDAA， ∴18060360AECEPDCDB， ∴120EPD，∴120BPC； （2）①如图2，∵△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠CAP＝12∠BAC＝30°，∴PB＝PC， ∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°， ∴PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP， ∴AP＝PC，∴AP＝2PM； 故答案为：2APPM；
②AP＝2PM成立，理由如下： 延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°， ∴△PCD是等边三角形， ∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，