八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴,y轴于A(a,0),B(0,b),且满足a2+b2+4a﹣8b+20=0.(1)求a,b的值;(2)点P在直线AB的右侧;且∠APB=45°,①若点P在x轴上(图1),则点P的坐标为;②若△ABP为直角三角形,求P点的坐标.【答案】(1)a=﹣2,b=4;(2)①(4,0);②P点坐标为(4,2),(2,﹣2).【解析】【分析】(1)利用非负数的性质解决问题即可.(2)①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.②分两种情形:如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.分别利用全等三角形的性质解决问题即可.【详解】(1)∵a2+4a+4+b2﹣8b+16=0∴(a+2)2+(b﹣4)2=0∴a=﹣2,b=4.(2)①如图1中,∵∠APB=45°,∠POB=90°,∴OP=OB=4,∴P(4,0).故答案为(4,0).②∵a=﹣2,b=4∴OA=2OB=4又∵△ABP为直角三角形,∠APB=45°∴只有两种情况,∠ABP=90°或∠BAP=90°①如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.∴∠PCB=∠BOA=90°,又∵∠APB=45°,∴∠BAP=∠APB=45°,∴BA=BP,又∵∠ABO+∠OBP=∠OBP+∠BPC=90°,∴∠ABO=∠BPC,∴△ABO≌△BPC(AAS),∴PC=OB=4,BC=OA=2,∴OC=OB﹣BC=4﹣2=2,∴P(4,2).②如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.∴∠PDA=∠AOB=90°,又∵∠APB=45°,∴∠ABP=∠APB=45°,∴AP=AB,又∵∠BAD+∠DAP=90°,∠DPA+∠DAP=90°,∴∠BAD=∠DPA,∴△BAO≌△APP(AAS),∴PD=OA=2,AD=OB=4,∴OD=AD﹣0A=4﹣2=2,∴P(2,﹣2).综上述,P点坐标为(4,2),(2,﹣2).本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.2.已知:在平面直角坐标系中,A 为x 轴负半轴上的点,B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1,以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆,若2OA =,4OB =,试求C 点的坐标;(2)如图2,若点A 的坐标为()23,0-,点B 的坐标为()0,m -,点D 的纵坐标为n ,以B 为顶点,BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问:当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,整式2253m n +-的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;(3)如图3,E 为x 轴负半轴上的一点,且OB OE =,OF EB ⊥于点F ,以OB 为边作等边OBM ∆,连接EM 交OF 于点N ,试探索:在线段EF 、EN 和MN 中,哪条线段等于EM 与ON 的差的一半?请你写出这个等量关系,并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化,值为3-3)EN=12(EM-ON),证明见详解. 【解析】【分析】 (1)作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅,由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标;(2)作DP ⊥OB 于点P ,可以证明AOB BPD ≅,则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值,从而可以求出结论2253m n +-3-(3)作BH ⊥EB 于点B ,由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).(1)如图(1)作CQ⊥OA于Q,∴∠AQC=90°,△为等腰直角三角形,∵ABC∴AC=AB,∠CAB=90°,∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,≅(AAS),∴AQC BOA∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6,∴C(-6,-2).(2)如图(2)作DP⊥OB于点P,∴∠BPD=90°,△是等腰直角三角形,∵ABD∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,≅∴AOB BPD∴AO=BP,∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()23,0-,∴OA=23,∴m+n=23,∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时,AO=BP=m+n=23,∴整式2253m n +-的值不变为3-.(3)()12EN EM ON =- 证明:如图(3)所示,在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长,交x 轴于H.∵OBM 为等边三角形,∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM ≅,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12EG, ∴EN=12EG, ∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM),∴EN=12(EM-ON). 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的外角与内角的关系,全等三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理的运用.3.已知,如图A 在x 轴负半轴上,B (0,-4),点E (-6,4)在射线BA 上,(1) 求证:点A 为BE 的中点 (2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°,求点F 的坐标.(3) 如图,点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上,MN=NB=MA ,点I 为△MON 的内角平分线的交点,AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证:C△POQ=2 HI.【答案】(1)证明见解析;(2)22(0,)7F ;(3)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)过E 点作EG ⊥x 轴于G ,根据B 、E 点的坐标,可证明△AEG ≌△ABO ,从而根据全等三角形的性质得证;(2)过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ,过D 作DK ⊥x 轴于K ,然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ,进而求出D 点的坐标,然后设F 坐标为(0,y ),根据S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标;(3)连接MI 、NI ,根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ,从而得到∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ,由角平分线的性质,求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ,作IS⊥OM于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ,得到C △POQ 周长.试题解析:(1)过E 点作EG⊥x 轴于G ,∵B (0,-4),E (-6,4),∴OB=EG=4,在△AEG 和△ABO 中,∵90EGA BOA EAG BAO EG BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEG ≌△ABO (AAS ),∴AE=AB∴A 为BE 中点(2)过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ,过D 作DK⊥x 轴于K ,∵∠FEA=45°,∴AE=AD ,∴可证△AEG≌△DAK,∴D(1,3),设F (0,y ),∵S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD ,∴()()()111347463222y y +⨯=+⨯++ ∴227y = ∴220,7F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)连接MI 、NI∵I为△MON内角平分线交点,∴NI平分∠MNO,MI平分∠OMN,在△MIN和△MIA中,∵MN MANMI AMIMI MI=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MIN≌△MIA(SAS),∴∠MIN=∠MIA,同理可得∠MIN=∠NIB,∵NI平分∠MNO,MI平分∠OMN,∠MON=90°,∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°,∴∠AIB=135°×3-360°=45°,连接OI,作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON,OI平分∠MON,∴IH=IS=OH=OS,∠HIS=90°,∠HIP+∠QIS=45°,在SM上截取SC=HP,可证△HIP≌△SIC,∴IP=IC,∠HIP=∠SIC,∴∠QIC=45°,可证△QIP≌△QIC,∴PQ=QC=QS+HP,∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.4.已知OP平分∠AOB,∠DCE的顶点C在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系;(2)如图2,若∠AOB=120º,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并说明理由.【答案】(1)CF=CG;(2)CF=CG,见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.(2)结论:CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)结论:CF=CG;证明:∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);(2)CF=CG.理由如下:如图,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120º,∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),∴∠AOC=∠BOC=60º(角平分线的性质),∵∠DCE=∠AOC,∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º,∴∠MCO=90º-60º =30º,∠NCO=90º-60º =30º,∴∠MCN=30º+30º=60º,∴∠MCN=∠DCE,∵∠MCF=∠MCN-∠DCN,∠NCG=∠DCE-∠DCN,∴∠MCF=∠NCG,在△MCF和△NCG中,CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG(ASA),∴CF=CG(全等三角形对应边相等);【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等.5.在四边形ABCD 中,E 为BC 边中点.(Ⅰ)已知:如图,若AE 平分∠BAD,∠AED=90°,点F 为AD 上一点,AF=AB.求证:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD(Ⅱ)已知:如图,若AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,点F,G 均为AD上的点,AF=AB,GD=CD.求证:(1)△GEF 为等边三角形;(2)AD=AB+12BC+CD.【答案】(Ⅰ)(1)证明见解析;(2)证明见解析;(Ⅱ)(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)(1)运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可;(2)由(1)得出∠AEB=∠AEF ,BE=EF ,再证明△DEF ≌△DEC (SAS ),得出DF=DC ,即可得出结论;(Ⅱ)(1)同(Ⅰ)(1)得△ABE ≌△AFE (SAS ),△DGE ≌△DCE (SAS ),由全等三角形的性质得出BE=FE ,∠AEB=∠AEF ,CE=GE ,∠CED=∠GED ,进而证明△EFG 是等边三角形;(2)由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ,即可得出结论. 【详解】(Ⅰ)(1)∵AE 平分∠BAD ,∴∠BAE=∠FAE ,在△ABE 和△AFE 中, AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△ABE ≌△AFE (SAS ),(2)∵△ABE ≌△AFE ,∴∠AEB=∠AEF ,BE=EF ,∵E 为BC 的中点,∴BE=CE ,∴FE=CE ,∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠DEF=∠DEC ,在△DEF 和△DEC 中,FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△DEF ≌△DEC (SAS ),∴DF=DC ,∵AD=AF+DF ,∴AD=AB+CD ;(Ⅱ)(1)∵E 为BC 的中点,∴BE=CE=12BC , 同(Ⅰ)(1)得:△ABE ≌△AFE (SAS ),△DEG ≌△DEC (SAS ),∴BE=FE ,∠AEB=∠AEF ,CE=GE ,∠CED=∠GED ,∵BE=CE,∴FE=GE,∵∠AED=120°,∠AEB+∠CED=180°-120°=60°,∴∠AEF+∠GED=60°,∴∠GEF=60°,∴△EFG是等边三角形,(2)∵△EFG是等边三角形,∴GF=EF=BE=12 BC,∵AD=AF+FG+GD,∴AD=AB+CD+12 BC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识;熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.6.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE;(2)求∠FAE的度数;(3)求证:CD=2BF+DE.【答案】(1)证明见解析;(2)∠FAE=135°;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知条件易证∠BAC=∠DAE,再由AB=AD,AE=AC,根据SAS即可证得△ABC≌△ADE;(2)已知∠CAE=90°,AC=AE,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°,由(1)知△BAC≌△DAE,根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°,再求得∠CAF=45°,由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数;(3)延长BF到G,使得FG=FB,易证△AFB≌△AFG,根据全等三角形的性质可得AB=AG,∠ABF=∠G,再由△BAC≌△DAE,可得AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,所以AG=AD,∠ABF=∠CDA,即可得∠G=∠CDA,利用AAS证得△CGA≌△CDA,由全等三角形的性质可得CG=CD ,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF .【详解】(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,∴∠BAC=∠DAE ,在△BAC 和△DAE 中,AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BAC ≌△DAE (SAS );(2)∵∠CAE=90°,AC=AE ,∴∠E=45°,由(1)知△BAC ≌△DAE ,∴∠BCA=∠E=45°,∵AF ⊥BC ,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°,∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;(3)延长BF 到G ,使得FG=FB ,∵AF ⊥BG ,∴∠AFG=∠AFB=90°,在△AFB 和△AFG 中,BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AFB ≌△AFG (SAS ),∴AB=AG ,∠ABF=∠G ,∵△BAC ≌△DAE ,∴AB=AD ,∠CBA=∠EDA ,CB=ED ,∴AG=AD ,∠ABF=∠CDA ,∴∠G=∠CDA ,在△CGA 和△CDA 中,GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△CGA ≌△CDA ,∴CG=CD ,∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ,∴CD=2BF+DE .【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质,解决第3问需作辅助线,延长BF 到G ,使得FG=FB ,证得△CGA ≌△CDA 是解题的关键.7.如图,在ABC ∆中,903, 7C AC BC ∠=︒==,,点D 是BC 边上的动点,连接AD ,以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE .(1)填空:ABC ∆的面积等于 ;(2)连接CE ,求证:CE 是ACB ∠的平分线;(3)点O 在BC 边上,且1CO =, 当D 从点O 出发运动至点B 停止时,求点E 相应的运动路程.【答案】(1)212;(2)证明见解析;(3)32【解析】【分析】 (1)根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得;(2)如图所示作出辅助线,证明△AEM ≌△DEN (AAS ),得到ME=NE ,即可利用角平分线的判定证明;(3)由(2)可知点E 在∠ACB 的平分线上,当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=1()2AC CD +,根据CD 的长度计算出CE 的长度即可.【详解】解:(1)903, 7C AC BC ∠=︒==,∴112137222ABC S AC BC =⨯=⨯⨯=,故答案为:21 2(2)连接CE,过点E作EM⊥AC于点M,作EN⊥BC于点N,∴∠EMA=∠END=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠MEN=90°,∴∠MED+∠DEN=90°,∵△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=90°,AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°,∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM与△DEN中,∠EMA=∠END=90°,∠AEM=∠DEN,AE=DE∴△AEM≌△DEN(AAS)∴ME=NE∴点E在∠ACB的平分线上,即CE是ACB∠的平分线(3)由(2)可知,点E在∠ACB的平分线上,∴当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,∵△AEM≌△DEN∴AM=DN,即AC-CM=CN-CD在Rt△CME与Rt△CNE中,CE=CE,ME=NE,∴Rt△CME≌Rt△CNE(HL)∴CM=CN∴CN=1() 2AC CD+,又∵∠MCE=∠NCE=45°,∠CME=90°,∴22) CN AC CD=+,当AC=3,CD=CO=1时,CE=2(31)22 2+=当AC=3,CD=CB=7时, CE=2(37)52+= ∴点E 的运动路程为:522232-=,【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.8.在ABC 中,AB AC =,点D 在BC 边上,且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合,且DA DB ≠),在射线DB 上截取DF DE =,连接EF .()1当点E 在线段AD 上时,①若点E 与点A 重合时,请说明线段BF DC =;②如图2,若点E 不与点A 重合,请说明BF DC AE =+;()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时,用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明).【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF =AE-CD【解析】【分析】(1)①根据等边对等角,求到B C ∠=∠,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ∆是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC ∠=∠=︒,推出ABF ACD ∆∆≌,根据全等三角形的性质即可得出结论;②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ,由△DEF 为等边三角形得到DA =DG ,再推出AE =GF ,根据线段的和差即可整理出结论;(2)根据题意画出图形,作出AG,由(1)可知,AE=GF,DC=BG,再由线段的和差和等量代换即可得到结论.【详解】(1)①证明:AB AC=B C∴∠=∠,60DF DE ADB=∠=︒,且E与A重合,ADF∴∆是等边三角形60ADF AFD∴∠=∠=︒120AFB ADC∴∠=∠=︒在ABF∆和ACD∆中AFB ADCB CAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD∴∆∆≌BF DC∴=②如图2,过点A做AG∥EF交BC于点G,∵∠ADB=60°DE=DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG=∠DEF=60°,∠AGD=∠EFD=60°∴∠DAG=∠AGD∴DA=DG∴DA-DE=DG-DF,即AE=GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG=CD∴BF=BG+GF=CD+AE(2)如图3,和(1)中②相同,过点A做AG∥EF交BC于点G,由(1)可知,AE=GF ,DC=BG ,BF CD BF BG GF AE ∴+=+==故BF AE CD =-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.9.(1)问题发现:如图(1),已知:在三角形ABC ∆中,90BAC ︒∠=,AB AC =,直线l 经过点A ,BD ⊥直线l ,CE ⊥直线l ,垂足分别为点,D E ,试写出线段,BD DE 和CE 之间的数量关系为_________________.(2)思考探究:如图(2),将图(1)中的条件改为:在ABC ∆中, ,,,AB AC D A E =三点都在直线l 上,并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=,其中α为任意锐角或钝角.请问(1)中结论还是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展应用:如图(3),,D E 是,,D A E 三点所在直线m 上的两动点,(,,D A E 三点互不重合),点F 为BAC ∠平分线上的一点,且ABF ∆与ACF ∆均为等边三角形,连接,BD CE ,若BDA AEC BAC ∠=∠=∠,试判断DEF ∆的形状并说明理由.【答案】(1)DE=CE+BD ;(2)成立,理由见解析;(3)△DEF 为等边三角形,理由见解析.【解析】【分析】(1)利用已知得出∠CAE=∠ABD ,进而根据AAS 证明△ABD 与△CAE 全等,然后进一步求解即可;(2)根据BDA AEC BAC α∠=∠=∠=,得出∠CAE=∠ABD ,在△ADB 与△CEA 中,根据AAS 证明二者全等从而得出AE=BD ,AD=CE ,然后进一步证明即可;(3)结合之前的结论可得△ADB 与△CEA 全等,从而得出BD=AE ,∠DBA=∠CAE ,再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°,然后进一步证明△DBF 与△EAF 全等,在此基础上进一步证明求解即可.【详解】(1)∵BD⊥直线l,CE⊥直线l,∴∠BDA=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠ABD,在△ABD与△CAE中,∵∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC,AB=AC,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∵DE=AD+AE,∴DE=CE+BD,故答案为:DE=CE+BD;(2)(1)中结论还仍然成立,理由如下:∠=∠=∠=,∵BDA AEC BACα∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,∴∠CAE=∠ABD,在△ADB与△CEA中,∵∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠CEA,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴BD+CE=AE+AD=DE,即:DE=CE+BD,∆为等边三角形,理由如下:(3)DEF由(2)可知:△ADB≌△CEA,∴BD=EA,∠DBA=∠CAE,∵△ABF与△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°,BF=AF,∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF,∴∠DBF=∠FAE,在△DBF与△EAF中,∵FB=FA,∠FDB=∠FAE,BD=AE,∴△DBF≌△EAF(SAS),∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,∴△DEF为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.10.已知:在ABC∆中,,90AB AC BAC=∠=︒,PQ为过点A的一条直线,分别过B C、两点作,BM PQ CN PQ⊥⊥,垂足分别为M N、.(1)如图①所示,当PQ与BC边有交点时,求证:MN CN BM=-;(2)如图②所示,当PQ与BC边不相交时,请写出线段BM CN、和MN之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)见解析;(2)MN BM CN=+(或BM MN CN=-或CN MN BM=-),理由见解析【解析】【分析】(1)根据已知条件先证AMB CNA≌∆∆,得到,AM CN BM AN==,即可证得MN CN BM=-;(2)由(1)知AMB CNA≌∆∆,得到,AM CN BM AN==,即可确定MN BM CN=+.【详解】证明:∵,BM PQ CN PQ⊥⊥,∴∠AMB=∠CAN=90︒,∵∠BAC=90︒,∴∠CAN+∠ACN=90︒,∠CAN+∠BAM=90︒(或CAN ACN CAN BAM∠+∠=∠+∠)∴BAM ACN∠=∠,在AMB∆和CNA∆中,∵AMB CNABAM ACNAB CA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AMB CNA AAS≌∆∆,∴,AM CN BM AN==,∵MN AM AN=-,∴MN CN BM=-.(2)MN BM CN=+(或BM MN CN=-或CN MN BM=-).理由:∵,BM PQ CN PQ⊥⊥,∴∠AMB=∠CAN=90︒,∵∠BAC=90︒,∴∠CAN+∠ACN=90︒,∠CAN+∠BAM=90︒(或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠),∴BAM ACN ∠=∠,在AMB ∆和CNA ∆中,∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AMB CNA AAS ≌∆∆,∴,AM CN BM AN ==,∴MN AN AM BM CN =+=+.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到BM CN 、和MN 之间的关系式.。