讲义:圆与方程
圆得标准方程与一般方程
1、圆得标准方程:222
()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 得圆得方程222
x y r +=。

2、圆得一般方程:()
2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->
(1)当22
40D E F +->时,表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
为圆心为半径得圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形、
特点:(1)①2x 与2
y 得系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样得二次项
(2)确定圆得一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了
(3)与圆得标准方程比较,它就是一种特殊得二元二次方程,代数特征明显,圆得标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

3、过圆上一点得切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 得切线方程为200r y y x x =+
当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 得圆得切线方程为
200))(())((r b y b y a x a x =--+--
典型例题
例1、已知一个圆得直径得端点就是A(-1,2)、B(7,8),求该圆得方程。

例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上得圆得方程。

例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切得圆得方程、
例4、已知圆得方程就是222r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 得切线方程。

例5、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)得圆得方程,并求这个圆得半径长与圆心坐标。

巩固练习:
1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称得圆得方程为 ( )
A.22(2)5x y -+=
B.22(2)5x y +-=
C.22(2)(2)5x y +++=
D.22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处得切线方程为( ) A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x
3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --得圆得方程、
4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点得圆得方程。

5、求经过点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x ―2y ―2=0上得圆得方程;
直线与圆、圆与圆得关系
1、点与圆得位置关系:
设圆得标准方程222
()()x a y b r -+-=,点00(,)M x y ,将M 带入圆得标准方程,
结果>r 2在外,<r 2在内、
判断点P 在圆上、圆内、圆外得依据就是比较点P 到圆心得距离d 与半径r 得大小关系: d >r ⇔点P 在圆外;即点P ),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-外得条件就是22020)()(r b y a x >-+-;
d =r ⇔点P 在圆上;在圆22)()(b y a x -+-=2r 上得条件就是22020)()(r b y a x =-+-;
d <r ⇔点P 在圆内;在圆222)()(r b y a x =-+-内得条件就是22020)()(r b y a x <-+-。

2、直线与圆得位置关系:
①代数法:由方程组⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ,得)0(022≠=++m p nx mx ,mp n 42-=∆
0>∆方程组有两解
0=∆方程组有一解
0<∆方程组无解
②几何法: 直线与圆相交
r d <
直线与圆相切
r d =
直线与圆相离
r d >
3、圆与圆得位置关系:几何角度判断(圆心距与半径与差得关系)
(1)相离1212C C r r ⇔>+; (2)外切1212C C r r ⇔=+; (3)相交121212r r C C r r ⇔-<<+;
(4)内切1212C C r r ⇔=-; (5)内含1212C C r r ⇔<-、
例1、设m >0,则直线2(x +y )+1+m =0与圆x 2+y 2=m 得位置关系为( )
A 、相切
B 、相交
C 、相切或相离
D 、相交或相切 例2、圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得得弦长等于( )
A 、6
B 、
225 C 、1 D 、5 例3、已知圆C :(x －1)2＋(y －2)2＝25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y －7m －4=0(m ∈R )、
证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点。

巩固练习:
1、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 得弦AB 得中点,则直线AB 得方程就是( )
A 、 03=--y x
B 、 032=-+y x
C 、 01=-+y x
D 、 052=--y x
2、圆012222=+--+y x y x 上得点到直线2=-y x 得距离最大值就是( )
A.2
B.21+
C.2
21+ D.221+
3、若经过点(1,0)P -得直线与圆03242
2=+-++y x y x 相切,则此直线在y 轴上得截距
就是 __________________、
4、点(),P a b 在直线01=++y x 上,求22222+--+b a b a 得最小值。

5、已知圆C 与y 轴相切,圆心在直线03=-y x 上,且被直线x y =截得得弦长为72,求圆C 得方程。

课后作业
1、若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称,则直线l 得方程就是( )
A.x+y=0
B.x+y-2=0
C.x-y-2=0
D.x-y+2=0
2、圆x 2+y 2+6x-7=0与圆x 2+y 2
+6y-27=0得位置关系就是( )
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D.内含
3、点(1,1)P -到直线10x y -+=得距离就是________________
4、 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称,则2l 得方程为__________;
若3l 与1l 关于x 轴对称,则3l 得方程为_________;
若4l 与1l 关于x y =对称,则4l 得方程为___________;
5、若方程22
0x y x y m +-++=表示一个圆,则m 得取值范就是: ____________、
6、圆心在直线270x y --=上得圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 得方程为 、
7、求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 得交点且平行于直线032=-+y x 得直线方程 8、求过点()1,2A 与()1,10B 且与直线012=--y x 相切得圆得方程。