M1x1
m l
x1
(0 x1 a)
17
例:求梁的 max、wmax y
FA
m l
FB
m l
A
2.列内力方程 FA
CB段： MO(F) 0
M2(x2) m FAx2 0
a
m
b
EI C
x2
l
m
B
x
FB
M2(x2)
x2
M 2 ( x2 )
FAx2
m
m l
x2
m
(a x2 l)
18
AC:
第11章 弯曲变形
11.1 弯曲变形的概念
1.弯曲变形问题实例
作业：11.2 (c), 11.3 (a)；11.6；11.8
1
2
3
2.弯曲变形的描述
y
挠曲线
弯曲使梁的 任意 x 截面 产生
w(x)
弯曲位移：
x x
F (1)截面形心的铅垂位移
——截面挠度w(x):向上为正
M
(2)截面绕中性轴转过的角度 M ——截面转角(x):逆时针转为正
(x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为
(x)
1
(x)
w(x)
3
[1 (w(x))2 ]2
小变形简化：
tan dw( x)
dx
1
(x)
w(x)
w(x)
M (x) EI
tan 45 1
w' dw
1
dx
弯曲位移：截面挠度w(x)、截面转角(x)如何求解？
6
w(x)
M (x) EI
xl
截面挠度w(x):
向上为正
14
最大挠度与哪些因素有关？
y
wmax
wB
Fl3 3EI
?
A
若 F=2KN 悬臂工件跨度为
l
l =1m，截面直径d =50mm，材料的 弹性模量E=200GPa，求B端挠度.
I d?4
wB
Fl3 3EI
2 103 13 64
3 200 109 504 1012
64
F
wB x
B
惯 性 矩
10.8m 0.0108m 10.8mm
讨论：若F´=2F=4KN，B截面挠度=？ w'B 2wB 讨论：若l´=2l=2m，B截面挠度=？ w'B 8wB
15
例 ：求图示梁的最大转角 max 、最大挠度 wmax
解：
y
a
m
b
1.求支反力 A
EI C
B
x
F MB(F) 0 A
y
F
dx
w(x)
(Fl
x2
1
2
Fx3
Cx
D) /
EI
A
26
x
Bx
4）由边界条件 确定积分常数
x 0, A 0? x 0, wA 0?
l
代入
CD00 求得
EI
EIw
dw dx
[Fl
[Flx 1 Fx
x2
1
2
Fx3
26
2 C
Cx
]x0
D]x
0
C? 0 D?
0
5）确定 转角方程 和挠度方程
dw [Flx 1 Fx2 ]/ EI
dx
2
w [Fl x2 1 Fx3]/ EI
26
12
y
F
讨论：是否要求记住 转角方程和挠度方程？
A x
l
B x dw [Flx 1 Fx2 ]/ EI
dx
2
w [Fl x2 1 Fx3]/ EI
要求记：
26
挠曲线近似微分方程
F
d2w dx2
z中性轴 O
有没有水平方向的位移？
x
M
4
y
(x)
=? (x)
w(x)
tan dw
dx
x
x
F
(3) 挠度方程 w = w (x)
(5)挠度和转角 有关系吗？
(4) 转角方程 = (x)
由平面假设及 小变形，得：
(x) tan (x) dw(x)
dx
5
11.2 梁的挠曲线近似微分方程
由静力关系结论： 1 M (x)
M1x1
m l
x1
y
2.AC段积分:
A
AC段：
d 2w dx2
M (x) /
EI
FA
w1(ax)
m w2(x)
b
EI C
B
x1
x
l
FB
d 2w1 dx2
x1 /
EI
积分 一次:
w1( x)
(1 2
m l
x12
C1) /
EI
(0 x1 a)
再积分 一次:
l
FB
FA l m 0
FA
m l
Fiy 0 FA FB 0
FB
m l
16
例：求图示梁的 max 、wmax
FA
m l
FB
m l
y
A
a
EI
2.列内力方程
x1
应分为两段列内力方程： FA
AC段： MO(F) 0
M1x1 FAx1 0 M1x1 FAx1
x1
m
b
C
B
x
l
FB
M1(x1)
（1）铰支座 yA
l
x 0, w ?0 A
B x x l , w ?0 B
A 0 B 0
（2）固定端 y
A
l
x 0, w ?0
B
x
x
0, A
A
dw dx
?0
9
11.3 积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠
y
度方程，并求最大转角和 最大挠度，梁的EI 已知。
mA A
解 1）求支反力
x
RA -F , m A -Fl
2）列出x截面的弯矩方程
l
RA
mO(F) 0 -M (x) F(l x) 0
M(x) F(l x)
M(x)
F
Bx
Fl Fx
M(x) mA RAx 0
M(x)
M(x) RAx mA
Fx Fl
d2w dx2
M (x) EI
10
3）列挠曲线近似 微分方程并积分
M(x) EI
l l1
l FN L EA
m
A
l mB
AB
Tl GI p
13
dw [Flx 1 Fx2 ]/ EI y
dx
w
[Fl
x2
1
2
Fx3 ] /
EI
A
26
x
F
B
wB
Bx
6）确定最大转角和最大挠度
l
max
?B
Fl2 2EI
xl
截面转角(x):
逆时针转为正
wm a x
?wB
Fl3 3EI
7
11.3 积分法求弯曲变形
挠曲线近似微分方程 对上式积分一次，
d2w M (x) dx2 EI
得转角方程： θ(x) dw M ( x)dx C
dx
再积分一次，得挠度方程：
l EI
w(x)
θ(x)dx
l
ll
M(x) EI
dx
dx
Cx
D
其中，C，D为积分常数，
由边界条件确定
8
常见的支座约束条件——边界条件
符号的选择： 与y轴及弯矩M的符号规定有关
y M (x) > 0
y
M (x) > 0
M (x) < 0
弯矩
M (x) < 0 M的 符号
w d 2 wd2y
dxd2x 2> 00
x
w ddx2w2ddx2y2 <00
规定
x
O 取+号
挠曲线近似 微分方程为
O
d2w dx2
w( x)''
M (x) EI
y
mA
A
x
F Bx
M(x) Fl Fx
l
RA
d 2w dx2
M
(x)
/
EI
(Fl Fx) / EI
d2w dx2
M (x) EI
积分 一次
dw (Flx 1 Fx2 C) / EI
dx
2
再积分 一次
w( x) (Fl x2 1 Fx3 Cx D) / EI
26
11
dw (Flx 1 Fx2 C) / EI