高中数学-函数的概念及表示练习
【考情分析】
高考在本考点的常考题型为选择和填空，分值5分，中高等难度
【考纲研读】
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数
3．了解简单的分段函数，并能简单应用
一、选择题
1．(·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，
则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
2．(·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )
A ．f (sin2x )＝sin x
B ．f (sin2x )＝x 2＋x
C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
3.(山东)设f (x )={√x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f (a )=f (a +1),则f (1a )=( ) A.2 B.4 C.6 D.8
4．(·山东高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －1，x <1，2x ，x ≥1.
则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，1 B ．[0，1] C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 二、填空题
5．(·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，
x ＋12，－2<x ≤0，，则f [f (15)]的值为________．
6．(·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，
则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．
7.(北京)设函数f (x )={x 3-3x ,x ≤a ,-2x ,x >a .
①若a =0,则f (x )的最大值为__________________;
②若f (x )无最大值,则实数a 的取值范围是____________.
8.(浙江)已知λ∈R,函数f(x)={x -4, x ≥λ,
x 2-4x +3, x <λ.当λ=2时,不等式
f(x)<0的解集是____________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________________.
9.(课标Ⅰ)设函数f (x )={
e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得
f (x )≤2成立的x 的取值范围是
_________.
10.(天津文)已知a ∈R,函数f (x )={x 2+2x +a −2,x ≤0,−x 2+2x −2a,x >0.
若对任意x ∈[-3,+∞), f (x )≤|x |恒成立,则a 的取值范围是____________.
参考答案
1. 答案： C
解析： ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；
∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6．
∴f (－2)＋f (log 212)＝9．
2. 答案： D
解析： 对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定
义不符，故A 错误．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与
函数的定义不符，故B 错误．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错误．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的，故选D ．
3. 答案： C
4. 答案： C
解析： 解法一：①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4，
2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．
②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )． ③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a ，2f (a )＝22a ，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23．故选C ．
解法二：∵f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －1，x <1，2x ，x ≥1，
而f [f (a )]＝2f (a )， ∴f (a )≥1，
∴有⎩⎨⎧ a <1，3a －1≥1或⎩⎨⎧
a ≥1，2a ≥1，
解得23≤a <1或a ≥1， ∴a ≥23，即a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞，故选C ． 5. 答案： 22
解析： ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，
∴f (15)＝f (－1)＝12，f 12＝cos π4＝22，
∴f [f (15)]＝f 12＝22．
6. 答案： ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞ 解析： 由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．
当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14
， ∴－14＜x ≤0．
当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立．
当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．
综上可知，x ＞－14．
7. 答案： ①2 ②(-∞,-1)
8. 答案： (1,4);(1,3]∪(4,+∞)
9. 答案： (-∞,8]
10. 答案： [18,2]。