高中数学：函数的概念及其表示1．函数与映射的概念2．函数的三要素函数由________、________和对应关系三个要素构成，在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的________；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的________．3. 函数的表示法函数的常用表示方法有：________、________、________． 4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．常用结论1．常见函数定义域：(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ∈R 且x ＝k π＋π2，k ∈Z .2．基本初等函数的值域：(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .(3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .题组一 常识题1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号) ①y ＝±x ；②y 2＝x －1；③y ＝x －2＋1－x ； ④y ＝x 2－2(x ∈N )．2．[教材改编] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －2，x >0，x ＋a ，x ≤0，若f [f (e)]＝2a ，则实数a ＝________．3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 题组二 常错题◆ 索引：函数概念理解不透彻；分段函数解不等式忘记范围；换元法求解析式，反解忽视范围；函数值域理解不透彻．4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．①f ：x →y ＝12x; ②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x; ④f ：x →y ＝x .5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为______________．6．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个．题组三 常考题 8．[2015·重庆卷改编] 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________．9．[2015·全国卷Ⅱ改编] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 3（3－x ），x <1，x 2＋2，x ≥1，则f (－6)＋f (2)＝________.探究点一 函数的定义域考向1 求给定函数解析式的定义域1 (1)[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x(2)[2016·山东实验中学月考] 函数f (x )＝4－x 2lg （x ＋1）的定义域为( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 对于由解析式给出的函数，其定义域可能有如下几种情况：(1)若f (x )是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；(2)若f (x )是偶次根式，则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合；(3)如果函数是由一些函数通过四则运算组合而成的，那么它的定义域是各函数定义域的交集.式题 函数f (x )＝lnx x －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C. (0，1) D ．(0，1)∪(1，＋∞) 考向2 求抽象函数的定义域2 (1)[2016·临川一中月考] 已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为( )A ．[－3，7]B ．[－1，4]C ．[－5，5] D.⎣⎡⎦⎤0，52 (2)已知函数f (3－2x )的定义域为[－1，2]，则函数f (x )的定义域为________．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] (1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f [g (x )]中，m ≤g (x )≤n ，从而解得x 的范围即为f [g (x )]的定义域；(2)若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 确定的g (x )的范围即为f (x )的定义域．考向3 已知定义域确定参数问题 3 (1)设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ (2)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 此类问题的一般解法是：根据所给定义域，将问题转化为含参数的不等式(组)，进而求解参数范围．探究点二 函数的解析式 4 (1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________________．(2)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝________________． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 函数解析式的求法：(1)换元法，已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (2)待定系数法，若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)配凑法，由已知条件f [g (x )]＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法，已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．式题 (1)若f (1－x )＝2x 2－x ＋1，则f (x )＝________________________________________________________________________.(2)已知f⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )的解析式为________________________________________________________________________．探究点三 分段函数 考向1 求分段函数的函数值5 (1)[2016·广西五市二模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（4－x ），x <4，1＋2x －1，x ≥4，则f (0)＋f (log 232)＝( )A ．19B ．17C ．15D ．13(2)[2016·湖北重点高中联考] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧cos πx 3，x ≥0，－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x <0，则f [f (－2)]＝( )A ．－32 B.12C ．－12 D.32________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 求分段函数的函数值时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，再选定相应的解析式代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍．考向2 分段函数的含参问题6 (1)[2016·广东韶关调研] 已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1，0)D ．(－∞，0)(2)[2016·江南十校二模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2（x －1），x ＞0，x 2－x －1，x ≤0，若f (a )＝5，则a 的取值集合为( )A ．{－2，3，5}B ．{－2，3}C ．{－2，5}D ．{3，5}________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．。