初三数学 第1页 共4页CBA（第6题图）2018年松江区初三数学二模试卷（满分150分，完卷时间100分钟） 2018.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1是同类二次根式的为（▲） （A ；（B（C（D 2．下列运算正确的是（▲） （A ）532x x x =+；（B ）532x x x =⋅； （C ）235()x x =；（D ）623x x x ÷=．3．下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的为（▲） （A ）正三角形；（B ）等腰梯形；（C ）平行四边形；（D ）菱形．4．关于反比例函数2y x=，下列说法中错误的是（▲） （A ）它的图像是双曲线； （B ）它的图像在第一、三象限； （C ）y 的值随x 的值增大而减小；（D ）若点（a ，b ）在它的图像上，则点（b ，a ）也在它的图像上.5．将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是（▲） （A ）方差；（B ）平均数；（C ）中位数；（D ）众数.6．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，⊙B 的半径为1，已知⊙A 与直线BC 相交，且与⊙B 没有公共点，那么⊙A 的半径可以是（▲） （A ）4； （B ）5； （C ）6；（D ）7.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）初三数学 第2页 共4页【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．因式分解：34a a - = ▲ ． 8x =的根是 ▲ ． 9．函数32x y x-=的定义域是 ▲ ． 10．已知方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ▲ ． 11．把抛物线22y x =-向左平移1个单位，则平移后抛物线的表达式为 ▲ ． 12．函数y kx b =+的图像如图所示，则当0y <时，x 的取值范围是 ▲ ．13．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，随机投掷这枚骰子，那么向上一面的点数为合数的概率是 ▲ ．14．某区有4000名学生参加学业水平测试，从中随机抽取500名，对测试成绩进行了统计，统计结果见下表：那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于60分的有 ▲ 人． 15． 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 上一点，且AE =2EC ，如果AB a =，AC b =，那么DE =▲ ．（用a 、b 表示）．16．一个正n 边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n =▲ ．17．平面直角坐标系xoy 中，若抛物线2y ax =上的两点A 、B 满足OA =OB ，且1tan 2OAB ∠=，则称线段AB 为该抛物线的通径．那么抛物线212y x =的通径长为 ▲ ． 18．如图，已知平行四边形ABCD 中，AC =BC ，∠ACB =45°，将三角形ABC 沿着AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE ，那么DEAC的值为 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）AC DE (第15题图) B (第12题图) (第18题图) A DCB初三数学 第3页 共4页19．（本题满分10分）计算：031--+．20．（本题满分10分）解不等式组：2312136x x x x -<⎧⎪+⎨-≤⎪⎩ 并把解集在数轴上表示出来．21.（本题满分10分, 每小题各5分） 如图，已知△ABC 中，∠B =45°，1tan 2C =， BC =6.（1）求△ABC 面积；（2）AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于 点E. 求DE 的长．22．（本题满分10分）某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ， F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.24．（本题满分12分，每小题各4分）0 1 2 3 4 5–––––(第23题图)FACD E初三数学 第4页 共4页如图，已知抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，1 ），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A ． （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =2，AC =3，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，过点A 作AE ∥CD ，交BC 延长线于点E. （1）求CE 的长；（2）P 是 CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q.① 如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；② 如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP 的长.(第24题图)(第25题图)CBA DE (备用图)CBA DE初三数学 第5页 共4页2018年松江区初三数学二模试卷参考答案2018.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B; 2．B; 3. D; 4. C; 5. A; 6. D;二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. (2)(2)a a a +-; 8. 2x =; 9. 0x ≠; 10. 4m <; 11．22(1)y x =-+; 12.1x <-; 13.13; 14. 120; 15. 1223a b -+;16. 6;17. 2; 18. 1- .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：031-+．解：原式=11)-+2分） =22分 20．（本题满分10分）解不等式组：2312136x xx x -<⎧⎪+⎨-≤⎪⎩ 并把解集在数轴上表示出来．解：由① 得 3x <．………………………………………………………………（2分）由② 得 6212x x -≤+…………………………………………………………（2分） 36x -≤…………………………………………………………（1分） 解得 2x ≥-．………………………………………………………………（2分） 所以，原不等式组的解集是23x -≤<．…………………………………………（1分） 在数轴上表示不等式组的解集，正确得2分（端点有一处错误，扣1分）． 21.（本题满分10分, 每小题各5分）解：（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H …………1分 在Rt ABC ∆中，∠B =45°设AH =x ,则BH =x ………………………………1分0 1 2 3 4 5 –––––(第21题图)DA初三数学 第6页 共4页在Rt AHC ∆中，1tan 2AH C HC == ∴HC=2x ………………………………………………………1分 ∵BC =6∴x+2x =6 得x =2∴AH =2…………………………………………………………1分 ∴162ABC S BC AH ∆=⋅⋅=……………………………………1分(2)由（1）得AH =2，CH =4在Rt AHC ∆中，AC =2分 ∵DE 垂直平分AC∴12CD AC == ED ⊥AC …………………………………………………1分 在Rt EDC ∆中，1tan 2ED C CD ==……………………………1分∴DE =………………………………………………1分 22．（本题满分10分）解：设高铁列车全程的运行时间为x 小时，…（1分） 则动车组列车全程的运行时间为(x +1)小时，…（1分）∴540540901x x -=+,……………………………………………（3分） 6611x x -=+．………………………………………………（1分） 260x x +-=…………………………………………………（1分） 122,3x x ==-………………………………………………（1分）经检验：它们都是原方程的根，但3x =-不符合题意．……（1分） 答：高铁列车全程的运行时间为2小时．…………………（1分） 23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE ∴∠AEB =90° ∵F 是AB 的中点 ∴12EF BF AB ==………………………………………………1分∴∠FEB =∠FBE…………………………………………………1分∴∠FEB =∠CBE…………………………………………………1分∴EF∥BC…………………………………………………1分∵AB∥CD∴四边形BCEF是平行四边形…………………………1分∵EF BF=∴四边形BCEF是菱形……………………………………1分(2)∵四边形BCEF是菱形,∴BC=BF∵12 BF AB=∴AB=2BC………………………………………………1分∵AB∥CD∴∠DEA=∠EAB∵∠D=∠AEB∴△EDA∽△AEB………………………………………2分∴AD AEBE AB=…………………………………………1分∴BE·AE=AD·AB∴2BE AE AD BC⋅=⋅…………………………………1分24．（本题满分12分，每小题各4分）解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，1-）∴112a bba+=-⎧⎪⎨-=⎪⎩…………………………………2分解得：12ab=⎧⎨=-⎩…………………………………1分∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；…………………………1分（2）∵点P的横坐标为m，∴P的纵坐标为：m2-2m……………………………1分令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N ∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1(第24题图)(第23题图)FACD EB初三数学第7页共4页初三数学 第8页 共4页由PN BMON OM=得221m m BM m -=………………………1分 ∴ BM =m -2…………………………………………………1分 ∵ 点C 的坐标为（1，1-），∴ BC= m -2+1=m -1………………………………………1分 （3）令P (t ，t 2-2t ) ………………………………………………1分 △ABP 的面积等于△ABC 的面积 ∴AC =AP过点P 作PQ ⊥BC 交BC 于点Q ∴CM =MQ =1∴t 2-2t =1 …………………………………………………1分 ∴1t =（1t =舍去）………………………………1分 ∴ P 的坐标为（1+）……………………………………1分25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分） 解：（1）∵AE ∥CD ∴BC DCBE AE=…………………………………1分 ∵BC=DC∴BE=AE …………………………………1分 设CE =x则AE =BE =x +2 ∵ ∠ACB =90°， ∴222AC CE AE +=即229(2)x x +=+………………………1分∴54x =即54CE =…………………………………1分（2）①∵△ACQ ∽△CPQ ，∠QAC>∠P∴∠ACQ=∠P …………………………………1分 又∵AE ∥CD ∴∠ACQ=∠CAE∴∠CAE=∠P ………………………………1分CBA DEPQ(第25题图)CBADE初三数学 第9页 共4页∴△ACE ∽△PCA ，…………………………1分 ∴2AC CE CP =⋅…………………………1分即2534CP =⋅ ∴365CP = ……………………………1分②设CP =t ，则54PE t =-∵∠ACB =90°，∴AP ∵AE ∥CD∴AQ ECAP EP=……………………………1分5545454t t ==--∴AQ =1分若两圆外切，那么145AQ t ==- 此时方程无实数解……………………………1分若两圆内切切，那么5AQ == ∴21540160t t -+=解之得2015t ±=………………………1分又∵54t >∴2015t +=………………………1分。