习题六1. 设总体X ～)6,(μN ,从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差2S 小于9.1的概率.解 X ～)6,(μN ,由22)1(σS n -～)1(2-n χ,于是{}()(){}(){}22222519.1(1)9.12436.412436.466n S P S P p p χχ-⨯⎧⎫-<=<=<=-≥⎨⎬⎩⎭10.050.95.=-=2. 设1210,,,X X X 是取自正态总体2(0,0.3)N 的样本,试求1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑.解：由()212nii Xu σ=-∑～2()n χ，于是()()(){}10210221221 1.441.4410160.10.30.3i i i i X P X P P χ==⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎪⎪>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑. 3. 设总体X ～(,4)N a ,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本,X 为样本均值,试问样本容量n 分别为多大时,才能使以下各式成立，()()()()()210.1;20.1;3{1}0.95.E X aE X a P X a -≤-≤-≤≥解 （1） 因为X ～4(,),N a nX ～(0,1),N 从而()24X a n -～2(1),χ于是2241,0.1,40.4X a E E X a n n n ⎛⎫- ⎪=-=≤≥ ⎪ ⎪⎝⎭所以 （2X ～(0,1),N 所以22222222x x x x E dx xedx ed ∞∞∞----∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰所以()0.1,E X a -=≤从而800254.7,255.n n π>=≥故（3） 因为{}1210.95,2X P X a P P φ⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎛⎪-≤=≤=≤≤=-≥ ⎨ ⎝⎭⎪⎪⎩所以()0.975, 1.96=0.975 1.9615.37,16.n n φφ≥≥≥≥⎝⎭而，故 4. 已知总体X ～),10(2σN ,σ为未知,1234,,,X X X X 总体X 的一个样本,2X S 、分别为样本均值和样本方差（1）构造一个关于X 的统计量Y ,使得)3(~t Y ; （2）设92.1=s ,求使{10}0.95P X θθ-<-<=的θ.解 （1）()()()()22222211030,1,1,3,2n S X S N n χχσσσ---～～～()()102103.X X Y t Sσ⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫- ⎪== ⎪⎝⎭～（2） ()()221022{10}1210.95,S X P X P t n S S S θθθθθ⎧⎫--⎪⎪-<-<=<<=--=⎨⎬⎪⎪⎩⎭所以()2210.025,4,3.1824, 1.92, 3.0551.St n n S Sθθθ-===== 5. 为了估计总体均值,抽取足够大的样本,以95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差σ的25%,试求样本容量. 解{}0.250.25444X u X P X u P P P σσ⎧⎫-⎧⎪⎪⎪-≤=≤=≤=-≤≤⎨⎬⎨⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎭⎭2195%,0.975, 1.96,61.4656,62.444n n φφ⎛⎫⎛=-====≥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭所以所以样本容量6. 从总体X ～)2,12(2N 中抽取容量为5的样本521,,,X X X ，试求(1) 样本的极小值小于10的概率; (2) 样本的极大值大于15的概率. 解 （1） (){}(){}125125min ,,,101min ,,,10P X X X P X X X <=-≥{}55111210*********i i i i X P X P ==⎡-⎤-⎧⎫=-≥=--<⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦∏∏()511110.5785.i φ==---=⎡⎤⎣⎦∏（2） (){}(){}125125max ,,,151max ,,,15P X X X P X X X >=-≤()()5551112151211 1.510.93320.2923.22i i i X P φ==⎡-⎤-⎧⎫=-<==-=-=⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦∏∏ 7. 从两个正态总体中分别抽取容量为25和20的两个独立样本,算得样本方差依次为2162.7S =，2225.6S =,若两总体方差相等,求随机抽取的两个样本的样本方差之比2221SS 大于6.257.62的概率是多少？ 解()()22212112222122/1,124,19/S S S F n n F S σσ=--=～，所以2211222262.7 2.450.025.25.6S S P P S S ⎧⎫⎧⎫>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭8. 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σμN X 的一个样本,样本方差,)(11212∑=--=n i i X X n S 证明12)(42-=n S D σ.证 因为)1(~)1(222--n S n χσ，而)1(2))1((2-=-n n D χ，所以12)1(2)1()1(1)(4242222-=-⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-=n n n S n n D S D σσσσ. 9. 设12,X X 分别是取自正态总体),(2σμN 的容量均为n 的相互独立的两个样本的样本均值，试确定n ,使得两个样本均值之差超过σ的概率大于01.0. 解2212(,),(,(0,1),X X X N u X N u N nn σσ～～{}121220.01,P X X P P σφ->=>=-≤=->⎪⎪⎭⎭2.575,13.n φ<=≈ 10. 设总体~()X πλ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本.X ,2S 分别为样本均值和样本方差，试求(1) （12,,,n X X X ）的分布律; (2)2(),(),()E X D X E S解 (1) 因为 {},!ix i ii e P X x x λλ-==所以(){}11112,.!!!nii x n n n n i i i i n e P X x X x P X x x x x λλ=-=∑=====∏(2) ()()(),,1,2,,i i E X D X i n λλ===所以()()211111,,n ni i i i E X EX D X DX nnnλλ======∑∑()()2222222111111111n n n i i i i i i E S E X X E X nX E X nX n n n ===⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()2211.1n n n n λλλλλ⎡⎤⎛⎫=+-+= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦11. 从总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本,如要求其样本均值位于区间)4.5,4.1(内的概率不小于95.0,问样本容量n 至少应取多大？ 解36(3.4,(0,1),X N N n ～ {}1.4 5.4210.95,333P X P φ⎧⎛⎫⎪<<=-<<=-≥ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭0.975,35.n φ≥≥⎝⎭12. 设样本观察值n x x x ,,,21 的平均值为x ,样本方差为2x S ,作变换cax y i i -=得n y y y ,,,21 的样本平均值为y ,样本方差为2y S ,试证 222,.x y x a cy S c S =+=证 11,ni i x x n ==∑()1111111111,n n n n i i i i i i i i x a a y y x a x na x n n c cn cn cn c c====-===-=-=-∑∑∑∑所以.x a c y =+()()22222111111n n xi i i i S x nx a cy n a cy n n ==⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑ ()()22222211221n i i i a acy c y n a acy c y n =⎛⎫=++-++ ⎪-⎝⎭∑ 2222111221n n i i i i c y ac y nacy nc y n ==⎛⎫=+-- ⎪-⎝⎭∑∑ 222221.1n i y i c y ny c S n =⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭∑ 13. 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的一个样本，试求随机变量∑=-ni i X X 12)(的数学期望和方差.解： 因为()2(),,i i E X u D X σ==所以222(),i E X u σ=+()2(),,E X u D X nσ==所以222().E X u nσ=+()()22222111(),n nni i i i i i E X X E X nX E X nE X ===⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ()()222221.n u n u n n σσσ⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭令21(),ni i Y X X ==-∑由2211(),1n i i S X X n ==--∑得()21,Y n S =- 由定理2得[]()222211,n S Yn χσσ-=-～所以()()2421,D Y Y D n σσ⎛⎫==-⎪⎝⎭即()()421.D Y n σ=- 14. 设521,,,X X X 来自正态总体)1,0(N 的一个样本， （1）试求常数B A ,,使得2543221)()(X X X B X XA ++++服从2χ分布,并且指出它的自由度；（2）试求常数,m n ,使得22212345()()m X X n X X X +++服从F分布,并且指出它的自由度.解（1）因为(0,1),i X N ～,(0,1).N 由2χ分布的定义知()22234512()()2,23X X X X X χ++++～ 故11,, 2.23A B n ===自由度（2）因为()222122,X X χ+～由F 分布的定义知()()22212345()2,1,23X X X X X F +++～ 故1211,,2, 1.23m B n n ====自由度15. 设X 是总体X 的样本均值,试证当X c =时,∑=-ni i c X 12)(达到最小.证222222211111()22n n nn ni ii i i i i i i i X c X c X nc X nX nX c X nc =====⎛⎫-=-+=-+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ ()()()22211.nni i i i X Xn X cX X===-+-≥-∑∑故当X c =时，∑=-ni i c X 12)(达到最小.16.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(，n ＞5服从何种分布？ 16.2522222211~(5),~(5)i nii i i XX X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立. 所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--.。