山东科技大学2011—2012学年第一学期《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷）一、计算题（共18分）1、(6分)设随机事件B A ,及B A ⋃的概率分别为q p ,及r ，计算 （1）)(AB P (2) )(B A P2、（6分）甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多少？3、（6分）甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 甲机器生产的零件是乙机器生产的两倍，今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率。

二、解答题（共64分）1、（8分）设连续性随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<-=其他,021,)(2x Kx x f ，计算（1）求常数K 的值； （2）求随机变量X 的分布函数； （3）计算)10(<<X P 。

2、（10分）二维随机变量),(Y X 的联合密度函数⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()23(y x Ke y x f y x ，求（1）常数K ； （2）Y X ,的边缘密度函数； （3）计算)(Y X P ≤。

3、（10分）设二维随机变量),(ηξ的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它11),(22y x y x p π问ξ与η是否独立？是否不相关？4、（8分）设X 与Y 独立同分布，且2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它求Z X Y =+的概率密度。

5、（10分）用两种工艺生产的某种电子元件的抗击穿强度X Y 和为随机变量，分布分别为211(,)N μσ和222(,)N μσ（单位：V ）.某日分别抽取9只和6只样品，测得抗击穿强度数据分别为19,,x x 和16,,,y y 并算得99211370.80,15280.17,ii i i xx ====∑∑66211204.60,6978.93.ii i i yy ====∑∑（1） 检验X Y 和的方差有无明显差异（取0.05α=）. （2） 利用(1)的结果，求12μμ-的置信度为0.95的置信区间. 6、（10分）设是取自总体X 的一个样本，其中X 服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值求的矩估计值与最大似然估计值。

7、（8分）一加法器同时收到20个噪声电压)20,,2,1( =k V k ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布。

记∑==201k kVV ，求)105(>V P 的近似值。

三、证明题（共18分）1、（6分）设随机变量X ～),(2σμN ,证明σμ-=X Y ～)1,0(N .2、（6分）设为总体的样本，证明都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。

3、（6分）设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。

试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度附表：95.0)64.1(=Φ 975.0)96.1.1(=Φ 90.0)28.1(=Φ 652.0)384.0(=Φ1604.2)13(975.0=t 1448.2)14(975.0=t 7709.1)13(95.0=t 7613.1)14(95.0=t 76.6)8,5(975.0=F 82.4)8,5(95.0=F山东科技大学2009—2010 学年第一学期 《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷）班级 姓名 学号一、填空题（每题5分，共15分）1、设()()()0.3,0.4,0.5P A P B P AB ===，则()P B A B = . 2、设()()()1230,6,0,4,3,X U X N X π 且123,,X X X 相互独立，则()12334D X X X +-= .3、随机变量X ，有()1E X =，()1D X =，则有{}13P X -<<≥ . 二、选择题（每题5分，共15分）1、设()()01,01P A P B <<<<，()()1P A B P A B +=,则A 与B ( ).)(A 互斥 )(B 对立 )(C 不独立 )(D 独立2、样本()1,,,21>n X X X n 来自标准正态总体(0,1)N ，与2S 是样本均值与样本方差，则有( ).)(A ~(0,1)X N )(B ~(0,1)N )(C 222~()ni i X n χ=∑ )(D ~(1)Xt n S- 3、设22(,),X N μσσ 已知，若样本容量n 和置信水平1α-均不变，选择对称的分位点，则对于不同的样本观测值，参数μ的置信区间的长度将会( ). )(A 变长； )(B 变短；)(C 保持不变； )(D 不能确定. 三、计算题（每题10分，共40分）1、设在某次世界女排比赛中，中、日、美、古巴四队取得半决赛权，形势如下：中国队已经战胜古巴队，但日本队和美国队还未赛，根据以往战绩，中国队战胜日本队、美国队的概率分别为0.9,0.4，而日本队战胜美国队的概率为0.5，试问（1）中国队取得冠军的概率？（2）已知结果中国队已夺冠，问日本战胜美国队的概率？2、设连续型随机变量X 的概率密度为3,01()0,kx x f x ⎧<<=⎨⎩其它，求：（1）常数k ；（2）随机变量X 的分布函数()F x ；（3）{}10.5P X -<<.3、设随机变量X 的概率密度为,0()0,x X e x f x -⎧≥=⎨⎩其它,求X Y e =的概率密度()Y f y .4、设总体X 在区间[],a b 上服从均匀分布，其中,a b 为未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一组样本，求未知参数,a b 的矩估计量和最大似然估计量.四、解答题（共22分）1、（12分）设随机变量()Y X ,的联合概率密度为2, 01,01,(,)0, x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它，试求：（1）()(),E X D X ；（2）(),Cov X Y ；（3）.XY ρ2、（10分）设考生的某次考试成绩服从正态分布，现从中任取了9名考生的成绩，如下72，76，85，84，79，86，88，92，94，设成绩总体服从正态分布,问在显著性水平0.05α=下,能否认全体考生这次的平均成绩为80分?五、证明题（本题8分） 设总体2(,)X N μσ 12,,,n X X X +是来自总体X 的一个样本，令22*1111,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑的分布.山东科技大学2009—2010 学年第一学期 《概率论与数理统计》考试试卷（B 卷）班级 姓名 学号一、填空题（每题5分，共15分）1、设()0.4,()0.3,()0.5,P A P B P A B === 则()P AB = .2、设()()()1230,6,0,4,3,X U X N X π 则()12323E X X X +-= .3、随机变量X ，有()1E X =，()1D X =，则有{}13P X -<<≥ . 二、选择题（每题5分，共15分）1、设()()01,01P A P B <<<<，()()1P A B P A B +=,则A 与B （ ）)(A 互斥 )(B 对立 )(C 不独立 )(D 独立2、假设总体X 服从正态分布),(2σμN ，()1,,,21>n X X X n 是来自X 的样本，X 是样本均值，则一定有（ ）（A ）),(~2σμN X n (B) ),(~2σμN X (C) ),(~221σμN X X n - (D) 21~(,)nii XN μσ=∑3、设随机变量X 的概率密度为||)(x ce x f -=，则常数c 为（ ）（A ）12-（B ）0 （C ）12 （D ）1三、计算题（每题10分，共40分）1、将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？2、设连续型随机变量X 的概率密度为3,01()0,kx x f x ⎧<<=⎨⎩其它，求：（1）常数k ；（2）随机变量X 的分布函数()F x ；（3）{}10.5P X -<<.3、设随机变量X 和Y 相互独立，且1,01()0,X x f x ≤≥⎧=⎨⎩其它，2,01()0,Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，求Z X Y =+的概率密度()Z f z .4、设总体X 服从参数为0λ>的泊松分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一组样本，求未知参数λ的矩估计量和最大似然估计量. 四、解答题（共22分）1、（12分）设随机变量X 的概率密度为()1,2xf x e x -=-∞<<+∞. 求：（1）()(),E X D X；（2）()ov ,C X X ；（3）,X X 是否独立，是否不相关？2、（10分）设某种电器零件的电阻服从正态分布，电器零件的平均电阻为2.64欧，改变工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62欧.设改变工艺前后的电阻的方差保持在()20.06.问新工艺对零件的电阻有无显著的影响，显著性水平为0.01α=. 五、证明题（本题8分） 设总体2(,)X N μσ 12,,,n X X X +是来自总体X 的一个样本，令221111,()1n n i ii i X X S X X n n ====--∑∑的分布.山东科技大学2009—2010学年第二学期 《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷）班级 姓名 学号一、填空题（每空2分，共26分）1．设A ,B 为随机事件，且()0.4P A =, ()0.7P A B =U , 若事件A 与B 互斥, 则()P B = ；若事件A 与B 独立，则()P B = 。

2．若3(0,0)7P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则(max{,}0)P X Y ≥= 。

3． 均匀正八面体两个面涂红色，两个面涂白色，四个面涂黑色，分别用1X =-、0X =和1X = 表示掷一次该正八面体，朝下的一面为红色、黑色和白色，则X 分布函数为____________，21=-Y X 的分布列为 。

4．设连续型随机变量ξ的分布函数为225()115Ax F x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪-⎪+⎩，当 ，当 ，则A = ，① 处的条件为 ；② 处的条件为 。