习 题 三1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=.,0,1 01第二次摸到白球第二次摸到红球，，第一次摸到白球；，第一次摸到红球，Y X 试求：（1）Y X 和的联合分布律；（2）{}.Y X P ≥解 （1） ),(Y X 的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1) 下面先算出每一组取值的概率第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0. 第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为1.因此由乘法定理得{}(,)}{(0,0)0P X Y P == {}11(,)(0,1)155P X Y ==⨯=第一次取到红球的概率为45，第一次取到红球后，第二次取白球的概率为14. 第一次取到红球的概率为45，第一次取到红球后，第二次取红球的概率为34.因此由乘法定理得{}433(,)(1,1)545P X Y ==⨯={}411(,)(1,0)545P X Y ==⨯=于是所求的分布律为Y 0 1X0 015 1 15 35（2）{}.Y X P ≥={}{}{}4(0,0)(1,0)(1,1)5P P P ++=2. 将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。

试写出Y X 和的联合分布律.解 由X 表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为3X -，所以(3)23Y X X X =--=-，X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为3,1,1,3，且(3,0.5)X b于是{}{}311(,)(0,3)0()28P X Y P X ====={}{}123113(,)(1,1)1()228P X Y P X C ====={}{}223113(,)(2,1)2()228P X Y P X C ====={}{}311(,)(3,3)3()28P X Y P X =====而(,)(0,1),(1,3),(2,3),(3,1),X Y =均为不可能事件.所求的Y X 和的联合分布律为 X 0 1 2 3Y1 038 38 0 3 18 0 0 183. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求Y X 和的联合分布律.解 X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为0,1,2,其联合分布律为 X 0 1 2 3Y0 0 0335 235 1 0 635 1235 2352 135 635 3350 4. 设二维随机变量()Y X ,概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(),(其它y x y x k y x f求:（1）常数k ； （2）{}3,1<<Y X P ； （3）{}5.1<X P ； （4）{}4≤+Y X P .解 （1）由概率密度的性质⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得24220(,)(6)2(3)81f x y dxdy k x y dxdy k x dx k +∞+∞-∞-∞=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰,故18k =. 于是 6,02,24,(,)80, .x yx y f x y --⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其它 {}{}132(2) 1,3(,)6388DP P X Y f x y dxdyx y dydx <<=--==⎰⎰⎰⎰{} 1.5402627(3) 1.5832x y P X dydx --<==⎰⎰ (4）{}240262483x x y P X Y dydx ---+≤==⎰⎰.5. 设二维随机变量()Y X ,服从区域G 上的均匀分布，其中{}1,1≤≤=y x G ，试求关于t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实根的概率.解 二维随机变量),(Y X 在区域{}1,1≤≤=y x G 服从均匀分布，由G 的面积4A =，所以),(Y X 的概率密度为1, 1,1,(,)40, .x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 若关于t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实数根，则判别式240X Y ∆=-<t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实数根的概率为2112214111{40}{4}424xP X Y P X Y dydx --<=<==⎰⎰. 6. 设X 与Y 的联合概率密度为 4, 01,01,(,)0, .xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它求X 与Y 的联合分布函数(,)F x y解 22220,00,01,01(,)(,),01,1,1,011,1,1x yx y x y x y F x y ds f s t dt x x y y x y x y -∞-∞<<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪==≤≤>⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩⎰⎰或7. 设X 与Y 的联合概率密度为 y⎩⎨⎧∈=.,0,),( ,2),(其它G y x xy y x f 02=-xy其中区域G 如图3-7所示，试求X 与Y 的边缘概率密度. 2 解 3202, 02,()(,)40, .x x x xydy x f x f x y dy +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 23224(), 01,()(,)0, .y Y xydx y y y f y f x y dx +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 8. 二维随机变量()Y X ,概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤=. ,0,1 ,),(22其它y x y cx y x f试求:（1）确定常数c ；（2）边缘概率密度.解 （1）由概率密度的性质 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得21112241114(,)(1)1221xf x y dxdy cx ydxdy cx x dx c +∞+∞-∞-∞--==-==⎰⎰⎰⎰⎰,故214c =. 于是2221, 1,(,)40, .x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它(2) X 的边缘概率密度 212242121(1), -11,()(,)480, .x x x ydy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它Y 的边缘概率密度522217, 01,()(,)420, .y y Y x ydx y y f y f x y dx +∞--∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 9. 设袋中有标记为14的四张卡片，从中不放回地抽取两张，X 表示首次抽到的卡片上的数字，Y 表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值 .（1）求,X Y （）的概率分布；（2）给出X 与Y 的边缘分布；（3）求在=4X 下Y 的条件概率分布和在Y=3下X 的条件概率分布.图3-7 O解 (1) X 的取值为1,2,3,4，Y 的取值为1,2,3,,X Y （）的概率分布为X 1 2 3 4Y1 112 212 212 112 2 112 112 112 1123 112 0 0 112（2）给出X 与Y 的边缘分布X 1 2 3 4i p 14 14 14 14Y 1 2 3i p 12 13 16（3）求在=4X 下Y 的条件概率分布Y 1 2 3i p 13 13 13在Y=3下X 的条件概率分布X 1 4i p 12 1210. 在第8题中，试求（1）已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y 发生时X 的条件概率密度；（2）)/(x y f X Y .解 （1）2221, 1,(,)40, .x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它由522217, 01,()(,)420, .y y Y x ydx y y f y f x y dx +∞--∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 172()216Y f = 已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y 发生时X 的条件概率密度212(,)132,2(/)212()0,2X Y Y f x x x f x f ⎧≤⎪==⎨⎪⎩其它（2）)/(x y f X Y .由212242121(1), -11,()(,)480, .x x x ydy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它当-1<1x <时4221,1(,)(/)()0,Y X X y x x y f x y f y x f x ⎧-≤≤==⎨⎩其它11. 设,X Y （）服从区域2:{(,)01}D x y y x ≤≤-上的均匀分布，设区域 2:{(,)}B x y y x ≥；（1）写出,X Y （）的联合密度函数； （2）给出X 与Y 的边缘密度函数； (3）求在1=-2X 时Y 的条件密度函数和在1Y=2时X 的条件密度函数；. （4）求概率P{(,)}X Y B ∈. 解 （1）区域D 的面积1214(1)3S x dx -=-=⎰. ,X Y （）的联合密度函数为 234,01(,)0,y x f x y ⎧≤≤-=⎨⎩其它（2）X 与Y 的边缘密度函数；212033(1), -1<1,()(,)440, .x x dy x x f x f x y dy -+∞-∞⎧=-<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 11331, 0<1,()(,)420, .y y Y dx y y f y f x y dx -+∞---∞⎧=-<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 （3） 19()0216X f -=>，在1=2X -时Y 的条件密度函数 1(,)43,03412(/)10,2()2Y X X f y y f y f -<<⎧-==⎨⎩-其它13()0222Y f => 已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y 发生时X 的条件概率密度122(,)1,2(/)2212()0,2X Y Y f x x f x f ⎧<⎪==⎨⎪⎩其它（4）概率221121232P{(,)}(,)42x xBX Y B f x y dxdy dx dy --∈===⎰⎰⎰⎰ 12. 二维随机变量()Y X ,概率密度为3, 01,0,(,)0, .x x y x f x y ≤<≤<⎧=⎨⎩其它求11P{}84Y X ≤= 解 2033, 01,()(,)0, .xx xdy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=≤<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它从而 1,0(,)(/)0,()Y X X x y x f x y f y x f x ≤<⎧==⎨⎩其它于是 14,01(/)440,Y X y f y x ⎧≤<⎪==⎨⎪⎩其它从而18180111P{}(/)844142Y X Y X f y x dydy -∞≤=====⎰⎰13. Y X ,相互独立，()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表X Y 1y 2y 3y {}⋅==i i p x X P1x 812x 81{}j j p y Y P ⋅== 61完成上述表格中的空格.解. Y X ,相互独立，有的可能取值),(j i y x 有{}{}{}j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,，1,2;1,2,3.i j ==()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表X Y 1y 2y 3y {}⋅==i i p x X P1x 1248111214 2x 813814 34{}j j p y Y P ⋅== 61 121314. 已知随机变量X 与Y 的分布律分别为X -1 0 1 Y 0 1 p41 21 41 p 2121已知 {}01P XY ==.试求 （1）X 与Y 的联合分布律；（2）X 与Y 是否相互独立？为什么？解 （1）由{}01P XY == 可知{}00P XY ≠=故 {}{}1,11,10P X Y P X Y =-===== 因而 {}{}11,014P X Y P X =-===-={}{}11,014P X Y P X ====={}{}{}{}0,001,01,0111()0244P X Y P Y P X Y P X Y ====-=-=-===-+=X 与Y 的联合分布律()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表Y X 1- 0 1 {}j j P Y y p ⋅==0 141412 1 0120 12{}i i P X x p ⋅== 141214由以上结果 {}0,00P X Y ===， {}10}{04P X P Y ===，于是X 与Y 不独立. 15. 二维随机变量()Y X ,概率密度为⎩⎨⎧>>=+-. ,0,0,0 ,2),()2(其它y x e y x f y x试求（1）X 与Y 是否相互独立？为什么？；(2）{}2,1><Y X P ，)1/(/x f Y X 与)/(/y x f Y X ，其中.0>y 解 （1）X 的边缘概率密度(2)02, 0,()(,)0, .x y x x edy e x f x f x y dy +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 Y 的边缘概率密度(2)2022, y 0,()(,)0, .x y y Y edx e f y f x y dx +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 对于任意的常数y x ,有)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=.所以X 与Y 是否相互独立（2）{}1(2)45021,2(,)2x y DP X Y f x y dxdy e dxdy e e +∞-+--<>===-⎰⎰⎰⎰(2)/2(,1)2(/1)(1)2x xX Y Y f x e f x e f e-+--=== 与 (2)0/2, 0,(/)()0, .x y x X Y X edy e x f x y f x +∞-+-⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰其它，其中.0>y 16. X 与Y 是相互独立的随机变量,X 在（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-. ,0,0 ,21)(2其它y e y f yY（1） 试求X 与Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，试求a 有实根的概率.解（1）X 在（0,1）上服从均匀分布，X 的概率密度为1, 01,()0, .X x f x <<⎧=⎨⎩其它Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-. ,0,0 ,21)(2其它y e y f yY 因为X 与Y 是相互独立的随机变量, X 与Y 的联合概率密度21, 01,0,(,)()()20, .yX Y e x y f x y f x f y -⎧<<>⎪=⋅=⎨⎪⎩其它（2）含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，若 a 有实根，则判别式2440X Y ∆=-≥a 的二次方程022=++Y Xa a ，若 a 有实根的概率为222221112220000{0}{}11(1)1222yx x x P X Y P X Y dx e dy edx e dxππ----≥=≥==-=-⎰⎰⎰⎰12(12(0ππ=-ΦΦ）+）=0.144517. 若在区间(0,1)内任取两个数，求事件“两数之和小于65”的概率.解 在区间(0,1)内任取两个数分别为随机变量X 与YX 在（0,1）上服从均匀分布，X 的概率密度为1, 01,()0, .X x f x <<⎧=⎨⎩其它Y 在（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为1, 01,()0, .Y y f y <<⎧=⎨⎩其它 因为X 与Y 是相互独立的随机变量, X 与Y 的联合概率密度1, 01,01,(,)()()0, .X Y x y f x y f x f y <<<<⎧=⋅=⎨⎩其它 事件“两数之和小于65”的概率. 556600525{}672x P X Y dxdy -+<==⎰⎰18. 设钻头的寿命（即钻头直到磨损报废为止 ，所钻透的地层厚度，以米为单位）服从参数为 0.001的指数分布，即Y 的概率密度为0.0010.001,0,()0, .x e x f x -⎧>=⎨⎩其它现要打一口深度为2000米的的井.(1)求只需一根钻头的概率； (2)恰好用两根钻头的概率。