答案：12
(4)(2015 年福建)某几何体的三视图如图 8-2-3，则该几何体 的表面积等于( )
A.8＋2 2 C.14＋2 2
图 8-2-3 B.11＋2 2 D.15
解析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形， 高为 2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰 长为 1，斜腰为 2.底面积为 2×12×3＝3，侧面积为 2＋2＋4＋ 2 2＝8＋2 2.所以该几何体的表面积为 11＋2 2.故选 B.
考点 2 几何体的体积
例 2：(1)(2017 年新课标Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底 面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
()
A.π
B.34πC.π2源自D.π4解析：设圆柱底面的圆周的半径为 r，r＝
则圆柱的体积为
π
232×1＝34π.故选
B.
答案：B
12－122＝ 23，
第2讲 空间几何体的表面积和体积
1.柱、锥、台和球的侧面积和体积
几何体
侧面积
体积
圆柱 圆锥
S 侧＝__2_π_rh__ S 侧＝πrl
V＝Sh＝πr2h V＝13Sh＝13πr2h ＝13πr2 l2－r2
圆台
S 侧＝π(r1＋r2)l
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h ＝13π(r21＋r22＋r1r2)h
体的体对角线长为 2 3.所以正方体外接球半径为 3.所以球的
表面积为 4π·( 3)2＝12π.故选 A.
考点 1 几何体的面积
例 1：(1)(2017 年新课标Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为 3,2,
1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为________.
解析：长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O
D.1∶16
解析：因为球的表面积 S＝4πR2，两个球的表面积之比为
1∶4，所以两个球的半径之比为 1∶2.又因为球的体积 V＝43πR3，
所以这两个球的体积之比为 1∶8.
3.(2017 年江苏)如图 8-2-1，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该 球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 O1O2 的体积为 V1，
答案：B
(5)(2017 年河北定州中学统测)如图 8-2-4 为某几何体的三 视图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A.227π
B.27π
图 8-2-4 C.27 3π
27 3π D. 2
解析：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底 面的四棱锥，
其底面是边长为 3 的正方形，且高为 3， 其外接球等同于棱长为 3 的正方体的外接球， 所以外接球半径 R 满足：2R＝ 32＋32＋32＝ 27. 所以外接球的表面积为 S＝4πR2＝27π.故选 B. 答案：B 【规律方法】第(1)(3)小题是求实体的面积；第(2)(4)小题 是只给出几何体的三视图，求该几何体的表面积，先要根据三 视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关 公式进行计算.注意表面积包括底面的面积.
(2)(2016 年山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如图 8-2-5.则该几何体的体积为( )
A.13＋23π
图 8-2-5
B.13＋
2 3π
C.13＋
2 6π
D.1＋
2 6π
解析：由已知，半球的直径为 2，正四棱锥的底面边长为
的球面上，长方体的体对角线是球 O 的直径，即 32＋22＋12＝
14＝2r，r＝
214.则球
O
的表面积为
4πr2＝4π
2142＝14π.
答案：14π
(2)(2017 年广东揭阳一模)如图 8-2-2，网格纸上小正方形的 边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表 面积为( )
A.96 C.96＋4( 2－1)π
1.以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正
方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( A )
A.2π
B.π
C.2
D.1
解析：由已知得，圆柱的底面半径和高均为 1，其侧面积 S
＝2π×1×1＝2π.
2.若两个球的表面积之比为 1∶4，则这两个球的体积之比
为( C )
A.1∶2
B.1∶4
C.1∶8
答案：C
(3)一个六棱锥的体积为 2 3 ，其底面是边长为 2 的正六边 形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
解析：设六棱锥的高为 h，体积为 V＝13Sh＝2 3，所以 13×6×12×2× 3h＝2 3.解得 h＝1.设六棱锥的斜高为 h′，则 h′＝ 12＋ 32＝2.则该六棱锥的侧面积为12×2×2×6＝12.
3 球 O 的体积为 V2，则VV12 的值是___2 __.
图 8-2-1 解析：设球的半径为 r，则VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
4.(2016 年新课标Ⅱ)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球
面上，则该球的表面积为( A )
A.12π
B.332π
C.8π
D.4π
解析：设正方体棱长为 a，则 a3＝8，所以 a＝2.所以正方
(续表)
几何体 直棱柱 正棱锥
正棱台
球
侧面积 S 侧＝Ch S 侧＝12Ch′ S 侧＝12(C＋C′)h′
S 球面＝__4_π_R_2_
体积 V＝Sh V＝13Sh V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝43πR3
2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇 环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和. 3.等积法的应用 (1)等积法：包括等面积法和等体积法. (2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通 过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高 或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回 避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计 算得到高的数值.
图 8-2-2 B.80＋4 2π D.96＋4(2 2－1)π
解析：由三视图可知几何体为边长为 4 的正方体挖去一个 圆锥得到.圆锥的底面半径为 2，高为 2，∴圆锥的母线长为 2 2.
∴几何体的平面部分面积为 6×42－π×22＝96－4π. 圆锥的侧面积为 π×2×2 2＝4 2π. ∴几何体的表面积为 96－4π＋4 2π.故选 C.