函数对称性与周期性几个重要结论赏析
对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、 几个重要的结论
（一）函数图象本身的对称性（自身对称）
1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。

2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。

3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线2
2)()(b a x b x a x +=-++=对称。

4、如果函数
)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。

5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

6、如果偶函数
)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、曲线
)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。

5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。

6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。

7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。

二、试试看，练练笔
1、定义在实数集上的奇函数
)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。

2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。

3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。

4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________
对称。

5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。

)(x f y =图象关于__________对称。

6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图象关于__________对称，)(x f y =关于__________对称。

7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ）
A 、5
B 、10
C 、15
D 、18
8、设函数
)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象
关于y 轴对称；②若
)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若
)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称，其中正确命题序号为_______。

9、函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+和)6()6(x f x f -=+，当
62≤≤x 时，x x f 2
12)(-=，求)(x f 解析式。

10、已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(]10,8-中的根。

附参考答案：
1T ：1- 2T ：)0,1( 3T ：1=x 4T ：y 轴即0=x 5T ：①y 轴②1=x
6T ：①41=x ②2
1=x 7T ：C 8T ：②④ 9T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≤≤++--∈+≤≤--=),6828(2)8(2
1),2828()8(21)(Z k k x k k x Z k k x k k x x f 10T ：方程的根为1086420246、、、、、、、、---共9个根。