半角模型专题训练思路：大角含半角+有相等且共端点的边，通过旋转使相等边重合，拼出特殊角，证全等；1.如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆的中点,AB=2,等腰直角三角板45°角的顶点与点P重合,当此三角板绕点P旋转时,它的斜边和直角边所在的直线与直径AB分别相交于C. D两点。
设线段AD的长为x,线段BC的长为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()A. B. C. D.2.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2=BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM •AE=AN•AF；④BE+DF=2MN．其中正确的结论是A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④3.如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF= 45°，AH⊥EF，H为垂足．有下列结论：①EF= BE+ DF；②∠BAH= 45°；③CE= CF；④AH= AB；⑤△ADF≌△AHF．其中一定正确的是（）A．①②④ B．②③⑤ C．①④⑤ D．①②③④⑤4.如图所示，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN＝45°.记AM＝m，MN＝x，BN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角D.随x，m，n的变化而变化的5.如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。
6.正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF=FM；(2)当AE=1时，求EF的长。
7.阅读下列材料：问题：如图(1),已知正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,且∠EAF =45°.判断线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由。
小明同学的想法是：已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是他将△DAF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△BAH ，然后通过证明三角形全等可得出结论。
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1)图(1)中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系是______；(2)如图(2),已知正方形ABCD 边长为5,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,且∠EAF =45°，AG ⊥EF 于点G ，则AG 的长为______，△EFC 的周长为______；(3)如图(3),已知△AEF 中,∠EAF =45°，AG ⊥EF 于点G ，且EG =2，GF =3，则△AEF 的面积为______.8.探究：(1)如图1,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___；(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF =21∠BAD ”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中,若将△AEF 绕点A 逆时针旋转,当点分别E. F 运动到BC 、CD 延长线上时,如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化，请给出结论并予以证明。
9.已知：正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想。
10.已知：如图,正方形ABCD的边长为a,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN.(1)填空：与△ABM相似的三角形是△___,BM⋅DN=___;(用含a的代数式表示)(2)求∠MCN的度数；(3)猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论。
11.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两个顶点A，C分别在y 轴、x轴的正半轴上，点0在原点.现将正方形OABC绕点0顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N.(1)求最大的旋转角度数.(2)旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数.(3)设△MBN 的周长为p ，在正方形旋转过程中，p 值是否有变化？请说明.12.在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．(1)在图1中证明CE=CF ；(2)若∠ABC=90°，G 是EF 的中点(如图2)，直接写出∠BDG 的度数；(3)若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，分别连接DB 、DG(如图3)，求∠BDG 的度数．13.（2010重庆改编）等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（I ）如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_____________；此时LQ =___________；（II）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=_________（用、L表示）．14.如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是 BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝21∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．15.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC(BC ＞AD),∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,若AE=10.求CE 的长度.16.1.如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD.求证:EF ＝BE ＋FD; 2.如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. 3.如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=21∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.17.请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 、E 分别为线段B C 上两动点，若∠DAE=45°．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．18.已知在△ABC 中,∠ACB =90°,CA =CB =2,CD ⊥AB 于D ,点E 在直线CD上,DE =21CD ，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点。
(1)如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___，___；(2)在(1)的条件下,当点F 在线段AD 上,且AF =2FD 时,求证：∠CNE =45°；(3)当点E 在线段CD 的延长线上时,在线段AB 上是否存在点F ,使得∠CNE =45°?若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由。
(1)如图1,点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,∠EAF=45°,连接EF,则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是:EF=BE+FD.连结BD,交AE 、AF 于点M 、N,且MN 、BM 、DN 满足MN 2=BM 2+DN 2,请证明这个等量关系;(2)在△ABC 中,AB=AC,点D 、E 分别为BC 边上的两点.(1)如图2,当∠BAC=60°,∠EAD=30°时,BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是(2)如图3,当∠BAC=α,(0°＜α＜90°），∠EAD=21α,时,BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是19.如图1,平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =21x 2+b x +c 与x 轴交于A. B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB .直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF .(1)若点F 的坐标为(29,1),AF =17 ①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A. F. P 、Q 为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；(2)若2b +c =−2,b =−2−t ,且AB 的长为kt ,其中t >0.如图2,当∠DAF =45°时，求k 的值和∠DFA 的正切值。