9
方差
Var(X)=E[X-E(X)]2
刻划了随机变量的取值相对于其数学期望 的离散程度。
若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大.
10
注意： 1) Var(X) 0，即方差是一个非负实数。 2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。 3) 方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。
6x)dx

3 10
E(Y 2 ) E( X 4 )
x4 f (x)dx

1x4 0
(6x2

6x)dx

1 7
D(Y ) E(Y 2 ) E 2 (Y ) 37 700
15
12
例1. 已知 X 的密度函数为
Ax2 Bx, 0 x 1,
f (x)
0,
其它
其中 A，B 是常数，且 E( X) = 0.5.
(1) 求 A，B. (2)设 Y=X2, 求 E(Y), D(Y).
13
解: (1)

f (x)dx
1
(
Ax 2

Bx)dx
2
注性质 4 的逆命题不来自立，即若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
pij
X
-1
0
1
Y
-1
18
18
18
0
1
18
0
18
18
18
18
pi•
38 28
38
p• j
38 28 38
3
XY
-1
0
1
P
28 48
28
E( X ) E(Y ) 0; E( XY ) 0;
性质2和3 性质4
E(3X 2XY Y 5) 3E(X ) 2E(XY ) E(Y ) E(5)
310 2 E(X ) E(Y ) 3 5
30 210 3 3 5 92
6
例2.(二项分布 B(n,p)) 设单次实验成功的概率是 p，问n次独立重复试验中，期望几 次成功？
利用期望与方差的性质求期望或方差
数学期望的性质
E (C ) = C
E (aX ) = a E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E

n i1
ai X i
C

n i1
ai E( X i ) C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
E( XY ) E( X )E(Y )
但 P( X 0,Y 0) 0

P( X

0)P(Y

0)


2 2
8
4
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0。
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f (x) 0, x 0 ,
所以


EX x f (x)dx x f (x)dx 0.

1

0

xf
( x)dx

1x( Ax2 0

Bx)dx

1 2
A B 1 32 A B 1 432
A 6, B6
14
(2) E(Y ) E( X 2 )
f (x) = (-6x2+6x)I(0,1)


x
2
f
(
x)dx


1x2 0
(6x2

11
方差的计算公式
常用的公式：
Var( X ) E( X 2 ) E 2( X )
证明: Var( X ) E( X E( X ))2 E( X 2 2E( X ) X E2 ( X )) E(X 2) 2E2(X ) E2(X ) E(X 2) E2(X )

0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。 而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。
5
例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋ 5)。
解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
解一:设 X 为空着的盒子数, 则 X 的概率分布为
X
01
2
P
4! 44
C 41C 31C 42 44
2!

144 44
3
C 42 (24 44

2)

84 44
C41 44

4 44
24 144 84 4 81 E( X ) 0 44 1 44 2 44 3 44 64
8
解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.
1, 第i盒空， X i 0, 其它， X X1 X2 X3 X4
Xi P
1
0

3 4

4
1


3 4
4
E
(
X
i
)


3 4

4
E(X
)

4


3 4

4

81 64
解: 引入
1, X i 0,
第i次试验成功， 第i次试验不成功。
则
X＝ X1+ X2 +…+ Xn
是n次试验中的成功次数。
因此，
EX E( X1) E( X 2 ) E( X n ) np.
这里， X～B(n,p)。
7
例3.将4 个可区分的球随机地放入4个盒子中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数 学期望.