第二章 基本初等函数指数和指数函数
考点回顾：
1．幂的有关概念
(1)正整数指数幂
)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n 个
(2)零指数幂
)0(10
≠=a a (3)负整数指数幂
()10,n n a a n N a -*
=
≠∈
(4)
正分数指数幂
)
0,,,1m
n
a a m n N n *=>∈>；
(5)
负分数指数幂
)
10,,,1m
n
m n
a
a m n N
n a
-*
=
=
>∈>
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质
()()
10,,r
s
r s
a a
a
a r s Q +=>∈
()()()
20,,s
r rs a a a r s Q =>∈
()()()
30,0,r
r r ab a b a b r Q =>>∈
3．根式的内容
（1）根式的定义:一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()
*∈>N n n ,1，n
a 叫做根式，
n 叫做根指数，a 叫被开方数。

(2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n
n =；当n 是偶数，则
⎩⎨⎧<-≥==00a a a a a a n
n
②负数没有偶次方根，
③零的任何次方根都是零 课堂练习:
1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )
A ．幂函数
B ．对数函数
C ．指数函数
D ．余弦函数
2． (2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x
＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )
A ．3
B ．1
C ．－1
D ．－3
3． (2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x
，g (x )＝b x
，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．
的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a <b <1
D ．b >1>a >0
4． (2010·辽宁，10)设2a ＝5b
＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m ＝( )
B ．10
C ．20
D ．100
5．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *
)都在函数y ＝a x
(a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( ) A ．a 3＋a 7>2a 5 B ．a 3＋a 7<2a 5 C ．a 3＋a 7＝2a 5
D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关
6． (2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x
的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x
的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,4) C ．(1
2，2)
D ．(0,1)
7. (2010·北京东城区)定义在
R 上的函数f (x )满足f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
21－x
x ≤0
f
x －1－f x －2 x >0
，则f (－1)＝______，f (33)＝________.
8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x
4x ＋1.
(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．
9．已知关于x 的方程9x
－2×3x
＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围．
对数和对数函数 1.对数的概念
如果)1,0(≠>=a a N a b
,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a
2.对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a
3.
对
数
的
运
算
性
质
N M MN ①a a a log log log +=
N M N
M
②a a a
log log log -= M n M ③a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>0
4.对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=
m m a a N a
N
N m m a 且且
5.指数函数y=a x
与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系 名称 指数函数
对数函数
一般形式 Y=a x
(a>0且a ≠1) y=log a x (a>0 , a ≠1) 定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点 （０，1）
（1，０）
图象
指数函数y=a x
与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)图象关于y=x 对称
单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 值分布
y>1 y<1
y>0 y<0
比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，
如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象：
1、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
2、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，
讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

课堂练习：
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x x ∈[－1，0]
3x x ∈0，1]
，则f ⎝
⎛⎭⎪⎫log 312＝________. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x x ≤1
log 2x －1 x
>1
，则f (x )≤1
2
的解集为________．
3．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，φ(x )＝log 2
x ，则f (12)
＋f (4)的值为________．
4. 已知函数
⑴求函数的定义域；
⑵判断函数的奇偶性，并予以证明； ⑶求使<0成立的的集合。

)1,0)(1(log )(),1(log )(≠>-=+=a a x x g x x f a a 且其中)()(x g x f +)()(x g x f -)()(x g x f +x
幂函数
知识梳理：
1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数.
要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常 用幂函数的图象.
2. 观察出幂函数的共性，总结如下：
（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数.
（2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.
3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 课堂练习：
1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点2
(2,)2
，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2
－2x ）
2
1－
的定义域是
3．函数y ＝5
2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝
2
21
m m
x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _．
5．幂函数()y f x =的图象过点1
(4,)2
，则(8)f 的值为 .
6．比较下列各组数的大小： 3
2(2)a + 32
a ； 22
3
(5)a -
+ 23
5-
； 0.50.4 0.40.5.
7．幂函数的图象过点(2,
14
), 则它的单调递增区间是 ．
8．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝a x 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ．
9．函数y ＝3
4x -在区间上 是减函数． 10．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 427),
另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2),
(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集.。