第二十一讲 从三角形的内切圆谈起
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心,圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质:
1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点,它到三角形的三边距离相等;
2.圆外切四边形的两组对边之和相等,其逆亦真,是判定四边形是否有外切圆的主要方法.
当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时,就得到隐含丰富结论的下列图形:
注:设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边),运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式: (1)2
c
b a r -+=; (2)c
b a ab
r ++=
.
请读者给出证 【例题求解】
【例1】 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°°,BC=5,⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、
BC、AC分相切于点D、E、F,若⊙O的半径r=2,则Rt△ABC的周长为.思路点拨AF=AD,BE=BD,连OE、OF,则OECF为正方形,只需求出AF(或AD)即可.
【例2】如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,AC、BD相交于N点,连结ON,NP,下列结论:①四边形ANPD是梯形;②ON=NP:③DP·P C为定值;
④FA为∠NPD的平分线,其中一定成立的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④
思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形,判定性质等重要几何知识,注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换,推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键.
【例3】如图,已知∠ACP=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,过A、C、D 三点的圆交AB于F,求证:F为△CDE的内心.
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 连CF 、DF ,即需证F 为△CDE 角平分线的交点,充分利用与圆有关的角,将问题转化为角相等问题的证明.
【例4】 如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AB=BC=1,以AB 为直径作半圆O 切CD 于E ,连结OE ,并延长交AD 的延长线于F . (1)问∠BOZ 能否为120°,并简要说明理由; (2)证明△AOF ∽△EDF ,且2
1
==OA DE OF DF ; (3)求DF 的长.
思路点拨 分解出基本图形,作出基本辅助线.(1)若∠BOZ=120°,看能否推出矛盾;(2)把计算与推理融合;(3)把相应线段用DF 的代数式表示,利用勾股定理建立关于DF 的一元二次方程.
注:如图,在直角梯形ABCD中,若AD+BC=CD,则可得到应用广泛的两个性质:
(1)以边AB为直径的圆与边CD相切;
(2)以边CD为直径的圆与边AB相切.
类似地,三角形三条中线的交点叫三角形的重心,三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心.外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心,它们处在三角而中的特殊位置上,有着丰富的性质,在解题中有广泛的应用.
【例5】如图,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,O、O
1、O
2
分别是△ABC;
△ACD、△BCD的角平分线的交点,求证:(1) O
1O⊥C O
2
;(2)OC= O
1
O
2
.
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨在直角三角形中,斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似,得对应角相等,所以通过证交角为90°的方法得两线垂直,又利用全等三角形证明两线段相等.
学力训练
1.如图,已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于= cm.
2.如图,在直角,坐标系中A 、B 的坐标分别为(3,0)、(0,4),则Rt △ABO 内心的坐标是 .
3.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC , DC ⊥BC ,AB=8,BC=5,若以AB 为直径的⊙O 与DC 相切于E ,则DC= .
4.如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C=90°,AO 的延长线交BC 于点D ,AC=4,CD=1,则⊙O 的半径等于( )
A .5
4 B .4
5 C .4
3 D .6
5
5.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BCD=90°,以CD 为直径的半圆O 切AB 于点E ,这个梯形的面积为21cm 2
,周长为20cm ,那么半圆O 的半径为( ) A .3cm B .7cm C .3cm 或7cm D . 2cm
6.如图,△ABC 中,内切圆O 和边B 、CA 、AB 分别相切于点D 、EF ,则以下四个结论中,错误的结论是( )
A .点O 是△DEF 的外心
B .∠AFE=2
1(∠B+∠C) C .∠BOC=90°+2
1∠A D .∠DFE=90°一2
1∠B
7.如图,BC 是⊙O 的直径,AB 、AD 是⊙O 的切线,切点分别为B 、P ,过C 点的切线与AD 交于点D ,连结AO 、DO . (1)求证:△ABO ∽△OCD ;
(2)若AB 、CD 是关于x 的方程0)1()1(2
5
22=-+--m x m x 的两个实数根,且S △ABO + S
△OCD
=20,求m 的值.
8.如图,已知AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 与⊙O 相交于点D ,连结AD 并延长,BC 相交于点E .
(1)若BC=3,CD=1,求⊙O 的半径;
(2)取BE 的中点F ,连结DF ,求证:DF 是⊙O 的切线;
(3)过D 点作DG ⊥BC 于G ,OG 与DG 相交于点M ,求证:DM =GM .
9.如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=90°,AD=13cm ,BC=16cm ,CD=5cm ,AB 为⊙O 的直径,动点P 沿AD 方向从点A 开始向点D 以1cm /秒的速度运动,动点Q 沿CB 方向从点C 开始向点B 以2cm /秒的速度运动,点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,当其中一点停止时,另一点也随之停止运动.
(1)求⊙O 的直径;
(2)求四边形PQCD 的面积y 关于P 、Q 运动时间t 的函数关系式,并求当四边形PQCD 为等腰梯形时,四边形PQCP 的面积;
(3)是否存在某时刻t ,使直线PQ 与⊙O 相切,若存在,求出t 的值;若不存
在
,
请
说
明
理
由. (2002年烟台市中考题)
10.已知在△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,CD 为AB 上的高,O l 、O 2分别为△ACD 、△BCD 的内心,则O l O 2= .
11.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A 和∠B 的平分线相交于P 点,又PE ⊥AB 于点E ,若BC=2,AC=3,则AE ·EB= .
12.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的( )
A .内心
B .外心
C .圆心
D .重心
13.如图,AD 是△ABC 的角平分线,⊙O 过点AB 和BC 相切于点P ,和AB 、AC 分别交于点E ,F ,若BD=AE ,且BE=a ,CF=b ,则AF 的长为( )
A .
a 251+ B .a 231+ C .
b 251+ D .b 2
3
1+
14.如图,在矩形ABCD 中,连结AC ,如果
O 为△ABC 的内心,过O 作OE ⊥AD 于E ,作OF ⊥CD 于F ,则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为( ) A .2
1 B .3
2 C .4
3 D .不能确定
(《学习报》公开赛试题)
15.如图,AB 是半圆的直径,AC 为半圆的切线,AC=AB .在半圆上任取一点D ,作DE ⊥CD ,交直线AB 于点F ,BF ⊥AB ,交线段AD 的延长线于点F .
(1)设AD 是x °的弧,并要使点E 在线段BA 的延长线上,则x 的取值范围是 ;
(2)不论D 点取在半圆什么位置,图中除AB=AC 外,还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线段,并予证明.
16.如图,△ABC 的三边满足关系BC=2
1(AB+AC),O 、I 分别为△ABC 的外心、内心,∠ BAC 的外角平分线交⊙O 于E ,AI 的延长线交⊙O 于D ,DE 交BC 于H .
求证:(1)AI=BD ;(2)OI=2
1AE .
⌒
17.如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点F,问EP与PD是否相等?证明你的结论.
18.如图,已知点P在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的AB(不含端点)上运动,PH⊥OA于H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在AB上运动时,线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如
果有,请指出并求出其相应的长度;
(2)设PH= x,GP=y,求y关于x的函数解析式,并指出自变量x的取值范围;
(3)如果△PGH为等腰三角形,试求出线段PH的长.
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参考答案
精品文档
实用文档。