已 非 知 线性极 状 方 ５ ｆ Ｈ－， 限 态 程： ６ ｒ． ２ 其中ｆ 从正 布，ｕ ＝． ，０３； ７ －Ｓ ０ Ｏ 服 态分 ｆ０ ， ＝． １ ： ６ ６ １
服从正态分布， ｕ ＝． ， ｘ， ； ，２ ８ ， ０ Ｈ服从对数正态分布，１ ＝２ ， ＝． ，用结 １ ６ ３ １ ３． ６ ０ ３ Ｈ ８ Ｈ ０ 构可靠度计算的 几何法求Ｏ 及 ｆ ｖ， Ｈ 值。 ， ｚ。ｒ ； ｍ 可靠度指标ａ 及验算点ｆ Ｗ，ｒ 减，
可靠度与各种随机性不确定信息的 概率数字特征联系起来，从而推动了结构随机可靠度的 工程应用。从此，结构随机可靠度分析的核心问 题之一就是 对ｐ 计算。各种方法应运而 的 生， 如验算点法 （ Ｊ Ｃ法） 、映射变换法、 实用分析法等。以 上方法属于可靠性计算的一次 二阶矩法， 该方法以 其计算简便、 在大多数情况下计算精度能满足工程应用要求而为工程 界所接受。但在有些情况下，如结构功能函数在验算点附近的非线性程度较高时，由于一 次二阶矩法把非线性功能函数在验算点处作一次展开，其计算结果与 精确解相差过大。文
可靠度指标 ０ 而ｎ Ｘ＇ ＝ Ｘ． ，并由 求得的０ 求出Ｘ
， 式 Ｘ 二 －ｘ Ｐ 将Ｘ 由 子 ’ Ｘ ， ｘ， ＊ Ｑ＋
化 正 空间 设 验 为非 态 的 计 算点Ｘ ａ ＇
⑤ 判 是 满 （ ＇ ＜￡〔 定 度）若 足 输 而 束 若 满 断 否 足ｇ ） Ｘ 给 精 ， 满 则 出。 结 ： 不 足
参考文献
ＩＪ Ｉ２］ ［３］ ［’］ １５］
杜藏，骆潭，科学计算语言Ｍ ＴＡ Ａ Ｌ Ｂ简明 教程． 南开大学出 ，９８ 版社 １ ９
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的表达式：
Ｘ一 ｘ（＝１ ， 的求出极限正态方程在标准正态空间坐标系中 ；Ａ ’ ，Ａ， ｌ ｉ ２
６ 厂
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｇ（ ＊ ’ ｘ， ６ ｚ Ｅ ｚＡ，ｎ ｐ ＇ ０ ＇ Ｘ， 外 十 ， ＊ ｘ＇ｔ ＇ ） 中 ｘ ｘ） 产 Ｘ ２ ＋ ｘ， ｆ ６ ＇ ＋ 二 （ ７ ）用限定条件下的优化算法求１ ｉ ，该过程的实现是通过调用 Ｍ Ｔ Ａ Ａ Ｌ Ｂ语言本身所带的
伍朝晖． 落．最大摘法在结 赵国 构动力可 研究中的 书性 应用． 连理 大 工大学土木系 １ ６ ，９ ９
Ｈ 的迭代过程如图４ 所示： ｍ －６
困９可翻度指标的承解过粗
将计算结果与用 Ｊ Ｃ法计算的结果进行比较
验算点
表 １计算结 果比较
本文方法
Ｊ Ｃ法
（． ７，１７， ． ３ ） ０ ５３ ． ６ １ ５２ ４ ２ ５ ３６
优化工具 （ｐｍｚｉ Ｔｏ ｏ） 箱 Ｏｔ ｉｔｎ ｌｘ 中的限定 ｉ ａｏ ｏｂ 条件下的 优化函 ｏ ｔ 现的， 始点 数ｃ ｓ 来实 ｎｒ 初
取为本次循环的标准正态化后的设计验算点Ｘ
优 的 标 数 ：ｘ － 化 目 函 为 ｔ Ｘ ｎ Ｘ ｉ ＇ ｎ
限 条 为 ｇ ＊ ｘ刃＊ ｚ；，Ｘ ‘ｘ＝ 定 件 ：， ａ＇ 一 Ｃ＇ｘＡ ｎ ｘ，＇０ （ ｘ＃ ， ｘ ｆ＇，， 十 ） 牙 ， ＋ ＋ｚ ６ ｕ
以直接计算结构的失效概率，但实际的结构分析中随机变量的数目多，功能函数也可能为 非线性的，比 较复杂，因 此直接通过数值积分计算结构的失效概率，目 前来讲，在实际工
程中 难以 现 。 此， 入了 靠 指 ，０ １ ｝ 该 标 程 构 随 是 实 的 因 引 可 性 标ｐ ＝ ｝ 。 指 将工 结 的 机 Ｐ ０ －
《 工程力学） 增刊
２０ 年 ０１
．４ ７ ・ ３
工程结构可靠度计算的几何法
宋晓燕 王铁成 管海梅 唐军务
〔 天沸大学土木工程系， 天潭 ３０７ ） （ ００２ 空军工捏设计研究局） （ 海军后幽学院）
提 要 根据可靠度指标 ｓ 的几何意义，提出了利用在标准正态空间寻优的方法来 计算 ０ １避免了以往０计算中将功能函数线性化所带来的误差，为复杂结构的可旅 度计算提供了高精度的方法：编制了 ＭＡ Ｌ Ｂ 的计算程序，实现了求解 ０ ＴＡ 的计算
争
目４可韶度计算的儿何法框图
３ 算例
下面给出 ４ 文献［ 中的一个算例， ］ 在该文献中是用 ｉ ｓ法进行计算的， 现在用本文中的
一一 一 —
一 一 一（ｆ＊ ＩＩ Ｓｔ） ０ １ ２１— Ｎ Ｐ０
一 一 ＂ ４ ４ １
可靠度计算的几何法进行可靠度指标的计算， 将计算结果进行比 较；
已 经证明，可靠度指标 Ｄ 几何意义为：标准正态空间中，坐标原点到极限状态方程 的
的最短距离。如图 １ 所示：
图 Ｉ 可书度计算几祠法示愈图
求解０ 的过程实际是一个限定条 件下的 优化过程：
目 数 ：ＦＸ ＝ Ｘ 标函 为 （ ） ＊ Ｘ Ｔ
则返回第三步继续计算，直至满足．
本 用高 科学 算 级 计 语言Ｍ ＴＡ ， 文采 ＡＬ Ｂ 根据以 步 ， 了 程 ｋ 上 骤 编制 计算 序ｉ ｅ
计算框图如下：
开始
输入随机变量 Ｘ的均值， 与方差。、 类型，功能函数Ｇ Ｎ
验 点 初 ＇ｕ 算 赋 值Ｘ＇
・４ ０ “ ４
‘ 工程力学ｓ 增刊 ２０ 年 ０１
０ ５ ３ ．５．３ ２ ． ６ ， １９ ． ４ ２ ３４
２５ ４ ．５ ８
２５ ３ ． ４
通过比 看出本文的方法与 Ｊ 较可以 Ｃ法的计算结果接 近，在功能函数的非 线性程度不 是很高时，本文的方法与 Ｊ Ｃ的结果应该是接近的。因为对于非线性化程度不高的功能函 数， Ｃ法是能够保证计算精度的。 Ｊ 本文作者认为对于极限 状态方程为非线性的，并且当 非线性的程度比 较高时， Ｃ法计算过程中 Ｊ 对于极限状态方程的线性化处理势必会产生很 大的误差，因 此在这种情况下应以 本文的计算结吴为 准。
Ｘ。 （ ）＝ ）
（ 定 本 机 量Ｘ的 计 算 ＇坐 值Ｘ 如 Ｉ ２ ）假 基 随 变 ‘设 验 点Ｐ 标 ｉ（取Ａ 的 ＇ Ｘ） （ 于 正基 随变 ３ ）对 非 态 本 机 量Ｘ；根 ， 据Ｘ； ， 当 正 化 法 出 ｘ，ｘ以 替 ’由 量 态 方 求 Ｐ； ， 代 ’ ’ － Ｏ
Ａ， ， 由 ， Ｉ， 并 Ｘ ｘ（ ； ｘ ７
Ｘ。 相 概率 度函 ） 应的 密 数为ｆｘ此 机向 表示 功 数为Ｚ （） 则结 。 （ 时随 量 的 能函 ） ＝ ｘ， 构的 Ｓ
失效概率表示为：
Ｐ一（ ０ ｆ ＪＰ ＜ ｆ Ｚ （． ） ） ＝ ｄ ．
（） １
其中， ＝ｘ （） １ Ｆ｛ １ Ｘ ＜ 表示结构的 ９ ０ 失效域。 简单的结 功能函 对于 构 数，由 值积分法 数 可
飞 矛 ． 、
了
，
、
‘
了
．
ｊ Ｊ
１ 、 １
限定条件为： ’ Ｘ＝ ９ （） Ｏ 其中Ｘ为标准正 态空间的基本随机变量向量 ， （） Ｂ ７ ＇ 为标准正态空间中的功能函数。 ｛
图ｚ 优化的目 效 标函
优化的目 标函数如图 ２所示，该函数为极限状态方程上的点到坐标原点的距离的平 方。 寻找到该函数的 最小值， 也就寻找到了 极限 状态方程到坐标原点的 距离。由图３ 可以 看出，目 标函数存在唯一的极小值点。
宋晓燕， 女， １７．出 ９６ 生。工学硕士 ４
・月 ８ ． ３
‘ 工程力学》 增刊 ２０ 年 ０１
献５ ６ 、 研究了结构可靠度的二次二阶矩方法 （ 把非线性功能函数在验算点处作二次展开） ， 但计算复杂，不便应用。鉴于此， 本文根据可靠度指标ｐ 的几何意义， 提出了 可靠性计算
的几何法。
Ｚ 可靠度计算的几何法
《 工程 力学》
增刊
２０ 年 ０１
＂ ９ ． ４ ３
下面给出非正态随机变量条件下， 用几何法计算ｉ ｉ 的步骤：
（ 入Ｘ １ ， 的 计 数ｉ＇ ．分 类 ， 限 态 程 （，Ｘ 一 １ ）输 ｉ ２－ ） 统 参 ｆ， 布 型 极 状 方 ｇ ， （ ， ｎ ｉ ０ ＝ ｘ１ 及 ７ Ｘ Ｘ ， ，
机操作。
４钟ｉ ｍ
拍可鑫度指标， 标准正态空间， 优化，几何法
１ 引言
工程结构的安全性，适用性和耐久性三者总称为结构的可靠性。 度ｔ可靠性的指标称
为可靠度，可靠度定义为在规定的时间内和规定的条件卞结构完成预定功能的概率， 表示
为Ｐ 失 概 为Ｐ Ｐ 若 构 基 随 变 构 的 机 量 ＝ １ … ｓ 效 率 ｆ１ ｓ 结 的 本 机 量 成 随 向 为Ｘ （１ ｘ … ， ＝ ・ － Ｘ Ｘ．